Název:

Matematické struktury v informatice

Zkratka:MAT
Ak.rok:2011/2012
Semestr:zimní
Studijní plán:
ProgramOborRočníkPovinnost
IT-MGR-2MBI1.povinný
IT-MGR-2MBS1.povinný
IT-MGR-2MGM1.povinný
IT-MGR-2MGM.1.povinný
IT-MGR-2MIN1.povinný
IT-MGR-2MIN.1.povinný
IT-MGR-2MIS1.povinný
IT-MGR-2MIS.1.povinný
IT-MGR-2MMI1.povinný
IT-MGR-2MMM1.povinný
IT-MGR-2MPS1.povinný
IT-MGR-2MPV1.povinný
IT-MGR-2MSK1.povinný
IT-MGR-2EITE1.povinný
Vyučovací jazyk:čeština
Kredity:5 kreditů
Ukončení:zkouška (písemná)
Výuka:
hod./sempřednáškasem./cvičenílab. cvičenípoč. cvičeníjiná
Rozsah:3913000
 zkouškatestycvičenílaboratořeostatní
Body:8020000
Garant:Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc., ÚM OADM
Fakulta:Fakulta strojního inženýrství VUT
Pracoviště:Ústav matematiky - odbor algebry a diskrétní matematiky FSI VUT
Prerekvizity: 
Diskrétní matematika (IDA), UMAT
 
Cíle předmětu:
Cílem předmětu je prohloubit u studentů znalosti základních matematických struktur, které jsou často využívány v různých oblastech informatiky. Vedle klasických algebraických struktur budou podrobněji vyloženy základy matematické logiky, teorie Banachových a Hilbertových prostorů a teorie grafů.
Anotace:
Formální teorie, predikátová logika, intuicionistická, modální a temporální logika, algebraické struktury s jednou a dvěma binárními operacemi, univerzální algebry, topologické a metrické prostory, Banachovy a Hilbertovy prostory, neorientované grafy, orientované grafy a sítě.
Získané dovednosti, znalosti a kompetence:
Studenti prohloubí své znalosti z oblasti matematických struktur využívaných v informatice. To jim pak umožní nejen lépe porozumět teoretickým základům informatiky, ale také se aktivně zapojit do výzkumu v tomto oboru.
Osnova přednášek:
  1. Výroková logika, výrokové formule a jejich pravdivost, formální systém výrokové logiky, dokazatelnost ve výrokové logice, věta o úplnosti.
  2. Jazyk predikátové logiky (predikáty, kvantifikátory, termy, formule) a jeho realizace, pravdivost a splňování formulí.
  3. Formální systém predikátové logiky 1. řádu, věty o korektnosti, úplnosti a kompaktnosti, prenexní tvar formulí. 
  4. Univerzální algebry a jejich typy, podalgebry a homomorfismy, kongruence a faktorové algebry, přímé součiny algeber.
  5. Grupoidy a pologrupy, podgrupoidy, homomorfismy,  faktorové a volné grupoidy a pologrupy.
  6. Grupy, podgrupy a homomorfismy, faktorové a cyklické grupy, volné a permutační grupy.
  7. Okruhy, homomorfismy, ideály, kongruence na okruzích, tělesa.
  8. Okruhy polynomů, obory integrity a dělitelnost, konečná tělesa.
  9. Metrické prostory, úplnost, normované a Banachovy prostory.
  10. Unitární a Hilbertovy prostory, ortogonalita, uzavřené ortonormální systémy a Fourierovy řady.
  11. Stromy a kostry, minimální kostra (Kruskalův a Primův algoritmus), vybarvování uzlů a hran grafu.
  12. Orientované grafy, orientované eulerovské grafy, problém kritické cesty (Dijkstrův a Floyd-Warshallův algoritmus).
  13. Sítě, toky a řezy v sítích, problémy maximálního toku a minimálního řezu, cirkulace v sítích.
Literatura referenční:
  1. Mendelson, E.: Introduction to Mathematical Logic, Chapman Hall, 1997, ISBN 0412808307
  2. Cameron, P.J.: Sets, Logic and Categories, Springer-Verlag, 2000, ISBN 1852330562
  3. Biggs, N.L.: Discrete Mathematics, Oxford Science Publications, 1999, ISBN 0198534272
Literatura studijní:
  1. Birkhoff, G., MacLane, S.: Aplikovaná algebra, Alfa, Bratislava, 1981
  2. Procházka, L.: Algebra, Academia, Praha, 1990
  3. Lang, S.: Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 1990, ISBN 038797279
  4. Polimeni, A.D., Straight, H.J.: Foundations of Discrete Mathematics, Brooks/Cole Publ. Comp., Pacific Grove, 1990, ISBN 053412402X
  5. Shoham, Y.: Reasoning about Change, MIT Press, Cambridge, 1988, ISBN 0262192691
  6. Van der Waerden, B.L.: Algebra I, II, Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg - New York, 1971, Algebra I. ISBN 0387406247, Algebra II. ISBN 0387406255
  7. Nerode, A., Shore, R.A.: Logic for Applications, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0387941290
Průběžná kontrola studia:
Půlsemestrální písemný test.