Numerické cvičení CZR
================================================================

Část I - LPC
------------

je dán signál o 12-ti vzorcích x[0]...x[11]:
0, 0.707, 1, 0.707, 0, -0.707, -1, -0.707, 0, 0.707, 1, 0.707

1. je možné vyjádřit tento signál analyticky ? Jak ?

2. spočítejte energii vztaženou na 1 vzorek. 

3. spočítejte průchody nulou - nejrpve pohledem na obrázek, pak
   matematicky. 

4. proveďte LPC analýzu řádu 2 - musíte tedy určit koeficienty a1 a a2
   filtru 1 / A(z). Budete potřebovat autokorelační koeficienty R[0],
   R[1] a R[2]. Proveďte výpočet řešením standardní soustavy rovnic o
   dvou neznámých. 

5. Proveďte tentýž výpočet pomocí Levinsona-Durbina. 

6. Vypočtěte energii chyby predikce z LPC a autokorelačních
   koeficientů.  

7. Vypočítejte signál chyby predikce - jedná se tedy o filtrování
   signálu x[n] "inverzním" filtrem  A(z). Vypočtěte jeho energii 
   a srovnejte s energií vypočtenou v bodě 6. 

8. Určete, kde má filtr 1 / A(z) póly a jak vypadá jeho frekvenční
   charakteristika. 


Část II - DTW
-------------

1. Jsou dány vektory s parametry: 
   testovací:     t=[1  3]
   referenční 1:  r1=[2 4]
   referenční 2:  r2=[-1 3]

   Určete Euklidovy vzdálenosti vektoru t od r1 i od r2 a určete,
   který z referenčních vektorů je testovacímu blíže. 

2. Referenční posloupnost má 4 vektory, testovací má 3 vektory. Je
   dána "mřížka" lokálních vzdáleností (reference svisle, test
   vodorovně). 
    
   D = [1  5  3
        5  2  1
        4  3  6
        2  2  5]

   Určete DTW vzdálenost. 

3. Určete optimální srovnávací cestu a průběhy "indexovacích" funkcí
   r(k) a t(k). 


Část III - HMM
--------------

Je dán model s N=4 stavy (z nichž jsou 2 vysílací). Vektory v matici O
mají dva prvky a je jich T=5:

o(1) = [0.5; 1]
o(2) = [1.2; 3]
o(3) = [1;   2]
o(4) = [-0.5; -3]
o(5) = [-1;  -5]

Model má tuto matici přechodových pravděpodobností:

A = [ 0       1       0        0;
      0       0.6     0.4      0;
      0       0       0.7      0.3;
      0       0       0        0    ];

Funkce hustoty rozdělení pravděpodobnosti v jednotlivých stavech jsou dány
jedním Gaussovým rozložením s následujícími vektory středních hodnot a 
směrodatných odchylek:

MI2=[1;2]; SIGMA2=[2;2];
MI3=[-1;-2]; SIGMA3=[2; 2]; 

Úkoly:
 
1. určete všechny možné stavové sekvence X. 

2. pro každou z nich určete pravděpodobnost vyslání: P(O,X | M)
   V tomto úkolu budete potřebovat výpočet vysílacích pravděpodobností
   Pro b2(o(1)) spočítejte sami, pro ostatní jsou zde:

        o(1)      o(2)      o(3)      o(4)      o(5)
b2    ??????    0.0349    0.0398    0.0013    0.0001
b3    0.0098    0.0010    0.0033    0.0340    0.0129
 
3. určete Baum-Welchovu pravěpodobost: P(O | M) = suma všech P(O,X | M)

4. určete Viterbiho pravěpodobost: P*(O | M) = nejlepší z  P(O,X | M)

5. určete log-Viterbiho pravěpodobost: log P*(O | M) pomocí algoritmu
   token-passing. Odlogaritmujte a srovnejte s bodem 4.