Nelineární dynamické systémy  

     
Úvodní stránka
  
Předchozí kapitola        
   Obsah 
(c)1999,2000
  
Další kapitola    
Pavel Tišnovský
 
E-mail


Obsah

1  Nelineární dynamické systémy
    1.1  Úvod
    1.2  Základní pojmy
        1.2.1  Dynamický systém
        1.2.2  Lineární systém
        1.2.3  Nelineární systém
        1.2.4  Stavový prostor
        1.2.5  Stupně volnosti
        1.2.6  Atraktor dynamického systému
        1.2.7  Chaos
    1.3  Dynamické systémy s fraktální strukturou
        1.3.1  Funkce populačního růstu
            Model populačního růstu
        1.3.2  Mandelbrotova množina
        1.3.3  Juliovy množiny v komplexní rovině
        1.3.4  Juliovy množiny v hyperkomplexní rovině
            Hyperkomplexní algebra
            Quaternion algebra
        1.3.5  Jiné dynamické systémy
    1.4  Závěr

Kapitola 1
Nelineární dynamické systémy

1.1  Úvod

V této kapitole popíšeme dynamické systémy a jejich souvislost s fraktály a s fraktální geometrií. Velkou pozornost přitom budeme věnovat nelineárním dynamickým systémům, které mají zajímavé uplatnění v praxi.

Dynamické systémy použijeme všude tam, kde potřebujeme vyjádřit dynamické chování, to znamená určitou změnu stavu systému v čase. Systém je většinou popsán soustavou diferenciálních rovnic, jež popisují tuto změnu. Důležitou otázkou přitom zůstává, zda (případně jak) lze předpovědět stav systému v budoucnosti. Také nás většinou zajímá, jakých stavů může systém nabýt. Přitom u některých dynamických systémů tento stavový prostor tvoří fraktál.

V další podkapitole si vysvětlíme některé základní pojmy, které souvisejí s dynamickými systémy.

1.2  Základní pojmy

1.2.1  Dynamický systém

Dynamický systém sestává ze stavového prostoru, jehož souřadnice popisují stav systému v daném čase a z dynamických podmínek, které popisují změnu tohoto systému v čase. Stav systému je potom popsán vektorem, který celý leží ve stavovém prostoru. Dynamické podmínky jsou většinou zadány soustavou diferenciálních rovnic, které popisují změnu stavového vektoru v čase. Změna stavu dynamického systému se děje provedením těchto diferenciálních rovnic a nahrazením starého stavového vektoru vektorem novým.

Dynamický systém může být deterministický nebo stochastický (náhodný). Deterministický dynamický systém lze poměrně přesně popsat, zatímco u systému stochastického jsme odkázáni pouze na statistické vlastnosti takového systému (například střední hodnota, disperze, směrodatná odchylka, centrální moment a jiné).

1.2.2  Lineární systém

Lineární systém je takový systém, v němž lze uplatnit princip superpozice. To lze ilustrovat na následujícím příkladu:
jestliže f(x)=0 a současně f(y)=0, potom také f(x+y)=0
Pro funkci f lze potom využít principu superpozice.

Superpozice využíváme při řešení velkého množství problémů, například při řešení průtoku elektrického proudu v elektronických obvodech nebo ve fyzice při skládání působení sil na hmotný bod.

Obecně platí, že je-li systém lineární a lze využít superpozice, je řešení takového systému často velmi jednoduché a jednoznačné. Chování takových systémů lze předpovědět i do budoucnosti.

1.2.3  Nelineární systém

Nelineární systém je takový systém, kde neplatí princip superpozice. To znamená že jestliže f(x)=0 a současně f(y)=0, není zaručeno, že také f(x+y)=0. V nelineárním systému platí princip superpozice pouze pro malou množinu izolovaných bodů, kterým říkáme fixní body.

Je-li systém nelineární a nelze tedy využít principu superpozice, je nutné pro výpočet změny stavu systému řešit diferenciální rovnice, což je mnohdy velmi složité. Také není zaručeno, že se nám podaří předpovědět stav systému i do budoucnosti.

V případě elektrických obvodů je nelineárním prvkem například dioda. Pro diodu neplatí klasický Ohmův zákon a je-li dioda ve složitějším elektrickém obvodu, nelze tento obvod řešit běžnými metodami (superpozice, smyčkové proudy).

Někdy se takový systém pro snažší výpočty linearizuje, tj. nelineární závislost se nahradí závislostí lineární.

1.2.4  Stavový prostor

Stavový prostor určuje, jakých hodnot může nabývat stavový vektor dynamického systému. Stavový vektor je tvořen množinou proměnných, které mohou nabývat hodnot z určitého intervalu. Interval všech těchto hodnot potom určuje celý stavový prostor.

Stavový prostor může být několika typů:

Konečný stavový prostor má omezené množství stavů. Například stavový prostor vyhozené koruny má pouze dva stavy - na minci bude při dopadu buďto panna nebo orel. Stavový prostor vržené kostky má šest stavů atd.

Spočitatelný stavový prostor má sice nekonečné množství stavů, ale tyto stavy jsou spočitatelné. To znamená, že každému stavu můžeme přiřadit nějaké přirozené číslo. Například stavový prostor nabitého kondenzátoru má nekonečné množství stavů (kondenzátor může být vybitý, nebo nabitý na teoreticky libovolně vysokou hodnotu), ale vzhledem k tomu, že celkový náboj je kvantován elementárním nábojem elektronu, je tento prostor spočitatelný. Celkový náboj tedy můžeme vyjádřit přirozeným číslem, které udává, kolik elektronů dohromady tvoří celkový náboj v kondenzátoru.

Nekonečný stavový prostor má jako stavové proměnné reálná čísla. To znamená, že je nejen nekonečný, ale není také spočitatelný. Neexistuje tedy takové mapování, aby každému stavu jednoznačně přiřadilo celé číslo. Nekonečný stavový prostor má například planeta obíhající okolo slunce. Stavové proměnné jsou zde souřadnice planety. Tyto proměnné nejsou ničím kvantovány, nejsou tedy spočitatelné.

1.2.5  Stupně volnosti

Stupně volnosti udávají počet vzájemně nevázaných stavových proměnných ve stavovém vektoru dynamického systému. Je-li dynamickým systémem popsán hmotný bod pohybující se na ploše, má tento systém dva stupně volnosti. Pohybuje-li se tento bod v prostoru, má systém tři stupně volnosti. Možné je mít i více stupňů volnosti, například když uvažujeme barvu nebo teplotu objektu.

1.2.6  Atraktor dynamického systému

Atraktor (anglicky attractor) dynamického systému je stav, do kterého systém směřuje. Je to tedy množina, ve které je stavový vektor, když je systém v nekonečném čase.

Atraktory rozdělujeme do několika tříd:

Jsou-li atraktorem dynamického systému pevné body, jde o nejjednodušší případ. Systém se tedy v nekonečném čase ustálil v nějakém stabilním stavu a v podstatě už nejde o dynamický systém. Příkladem může být kyvadlo, které se vlivem odporu vzduchu a odporu ložisek zastaví v nejnižším bodě své dráhy.

Jsou-li atraktorem periodické (resp. kvaziperiodické) body, jde také o jednoduchý případ. Systém se ustálil tak, že osciluje mezi několika stavy. Příkladem je těleso, které se na své cestě vesmírem dostane do blízkosti velmi hmotného tělesa. Po určitém čase se pohyb tohoto tělesa ustálí na eliptické dráze.

Je-li atraktor chaotický, znamená to, že výsledný atraktor nelze v podstatě nijak dopředu předpovědět. To je způsobeno tím, že je systém velmi citlivý na počáteční podmínky. Chaotičnost v tomto případě neznamená náhodnost, protože se bavíme o deterministických systémech. Příkladem může být koule postavená na vrcholku jehlanu. Jakýkoliv vnější podnět způsobí, že koule tento stav opustí a dostane se do některého atraktoru (místo pod jehlanem). Tento atraktor nelze předpovědět, protože nemůžeme bez zásahu do měření zjistit počáteční podmínky. V kvantové fyzice existuje takzvaný princip neurčitosti, který má obdobný význam pro kvantové jevy.

Podivný atraktor (anglicky strange attractor) je nejzajímavějším případem atraktoru. Tento typ atraktoru vzniká, je-li systém popsán minimálně třemi diferenciálními rovnicemi. Takový systém může mít velmi komplikovaný atraktor, který sice bude chaotický, ale přesto bude vykazovat určité pravidelnosti. Termín podivný atraktor není ještě přesně matematicky definován, ale považujeme za něj takový atraktor, který vykazuje stejné vlastnosti, jaké mají fraktály (podivný atraktor je tedy fraktálem).

První dynamický systém, který měl podivný atraktor, vytvořil Ed Lorenz v roce 1963. řlo o jednoduchý systém se třemi diferenciálními rovnicemi, které však ve svém důsledku vytvořily při simulaci chaotický atraktor, který měl fraktální strukturu. Na těchto rovnicích bylo také vidět velkou citlivost na počátečních podmínkách. I při velmi malé změně počátečních podmínek byl výsledek diametrálně odlišný.

Termín strange attractor poprvé zavedli ve své práci Ruelle a Takens v roce 1970.

1.2.7  Chaos

Chaos je z časového hlediska budoucí stav deterministického dynamického systému, který není předpovídatelný v důsledku velké citlivosti na počáteční podmínky. Aby byl systém chaotický, musí mít velké množství počátečních podmínek, které jsou nestabilní.

Chaos může nastat v systému, který má více než dvě stavové proměnné, tedy například v trojrozměrném prostoru. Pro diskrétní procesy existuje i jednorozměrný chaos. Jako příklad můžeme uvést takzvanou Logistickou mapu, která je definována předpisem:

f(x) = r*x(1-x)
(1.1)

Tato funkce je pro r > 4 chaotická.

Chaotické dynamické systémy mohou vykreslovat ve stavovém prostoru fraktální struktury, ale není to nutnou podmínkou.

1.3  Dynamické systémy s fraktální strukturou

V této části si popíšeme některé nejzajímavější nelineární dynamické systémy, které mají fraktální strukturu. Některé z těchto systémů mají uplatnění v počítačové grafice či jiných vědních oborech. Všechny zde popisované systémy vykazují velkou citlivost na počáteční podmínky a mají podivný atraktor.

Popíšeme si čtyři typy nelineárních dynamických systémů:

1.3.1  Funkce populačního růstu

Při studiu populačního růstu se došlo k závěru, že populační růst v určitém časovém období (například roce) závisí na populačním růstu v předchozím časovém období (relativně k celkové části populace). Populační růst klesá, jakmile celková část populace dosáhne určité hodnoty X. Tento proces je nelineární a protože jde o stav vyvíjející se v čase, jde i o proces dynamický. Pro tento systém se používá název Verhulstův proces.

Pro hodnotu růstu, který je menší než 200 procent, se po určité době stav populace ustálí na hodnotě X a nenastávají žádné odchylky. Hodnota X je tedy pro tuto hodnotu růstu atraktorem.

Jestliže hodnota růstu dosahuje 200 procent, hodnoty X se nikdy nedosáhne. Systém osciluje mezi hodnotou, která je menší než X a hodnotou, která je větší než X. Existují tedy dvě velikosti populace, které se každý rok vyměňují. Tyto dvě hodnoty jsou atraktorem, který je periodický.

Jestliže hodnota růstu dosáhne 245 procent, nastává oscilace mezi čtyřmi stavy. Hodnoty X se samozřejmě nikdy nedosáhne, tyto čtyři stavy jsou tedy atraktorem.

Pro hodnoty větší než 245 procent nastává postupně oscilace mezi osmi, šestnácti, dvaatřiceti ... stavy.

Zajímavý efekt nastane, je-li hodnota růstu větší než 257 procent. Pro tyto hodnoty se systém stává chaotický, to znamená, že velikost populací v následujících letech je nepředvídatelná.

Vzdálenost parametrů intervalů, kde jsou periody stabilní (tedy například oněch 245 procent), se nazývá Feigenbaumovo číslo. Toto číslo (přesněji řečeno konstanta) je univerzální, stejně jako například číslo p nebo e. Označuje se d a má přibližnou hodnotu d ť 4.669 201 660 910.

Model populačního růstu

Nechť x0 je velikost první (inicializační) populace a xn je hodnota populace po n rocích. Velikost růstu R je relativní přírustek za jeden rok:

R = xn+1-xn
xn
(1.2)

Jestliže je R konstantní (r), pak je dynamický zákon následující:

xn+1 = f(xn) = (1+r)xn
(1.3)

Po n rocích je velikost populace rovna:

xn = (1+r)nx0
(1.4)

Aby byl tento exponenciální růst limitován, R se mění s velikostí populace, R tedy závisí na velikosti populace:

R = r(1-xn)
(1.5)

Čím vyšší je velikost populace xn, tím nižší je přírustek a naopak. Parametr r se nazývá parametr růstu. Jestliže je xn < 1, populace se neustále zvětšuje. Zvětšování se zastaví, až dosáhne hodnoty xn = 1. Dynamický zákon má potom tvar:

xn+1
=
f(xn) = (1+r)xn-rxn2
(1.6)
xn+1
=
f(x,n) = xn+rxn(1-xn)
(1.7)

Obrázek 1.1: Bifurkační diagram

Pouze pro dvě hodnoty x0 je systém stabilní. Tyto hodnoty jsou 0 a 1. Liší-li se počáteční hodnota od nuly jen nepatrně, systém se po několika iteracích vzdálí od počáteční hodnoty. To znamená, že hodnota 0 je nestabilní. Atraktorem systému je pro r < 2.57 pouze 1.

Pro r > 2.57 (257 procent) je systém chaotický. To znamená, že i když je hodnota generována deterministickým vzorcem, stav systému nelze do budoucnosti žádným způsobem předpovědět.

Nakreslíme-li graf, ve kterém budeme na vodorovnou osu vynášet hodnoty r a na svislou osu dosažené hodnoty populace, získáme takzvaný bifurkační diagram (viz obrázek). Pro některé hodnoty nabývá systém pouze jednoho stavu, pro některé dvou stavů atd, ale pro některé hodnoty je celý systém chaotický, jak je ostatně vidět na obrázku. Tento diagram je fraktálem, protože je soběpodobný.

1.3.2  Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina (anglicky Mandelbrot Set nebo M-set) je nelineárním deterministickým fraktálem. Je to jeden z nejkrásnějších fraktálů, který se používá v počítačové grafice například ke generování textur nebo vytváření trojrozměrných modelů hor.

Obrázek 1.2: Celkový pohled na Mandelbrotovu množinu

Mandelbrotova množina je definována jako množina bodů ležících v komplexní rovině, pro které platí následující zákon:

M = {c | Pc0(0) š Ň "n ŽŇ; c,z Î C}
(1.8)

přičemž

Pc(z) = z2+c
(1.9)

Mandelbrotova množina je tedy tvořena těmi body v komplexní rovině, které po nekonečném počtu iterací předchozí funkce nejsou v nekonečnu. Začíná se v bodě, který leží v nule. Parametrem je přitom komplexní číslo c.

Předchozí rovnici si můžeme rozepsat:

z
=
z2+c
(1.10)
z
=
zx+jzy
(1.11)
c
=
cx+jcy
(1.12)
(zx+jzy)
=
(zx+jzy)2+(cx+jcy)
(1.13)
(zx+jzy)
=
zx2+2jzxzy+j2zy2+cx+jcy
(1.14)
(zx+jzy)
=
zx2+2jzxzy-zy2+cx+jcy
(1.15)

Poslední rovnici můžeme rozepsat pro zx a zy:

zx
=
zx2-zy2+cx
(1.16)
zy
=
2zxzy+cy
(1.17)

Nyní si dokážeme, že pro |c| < = z a |z| > 2 posloupnost diverguje.

|z| > 2
Ž
|z2+c| ł |z2|-|c|
(1.18)
|z| > 2
Ž
|z2| > 2|z| Ž |z2+c| > 2|z|-c
(1.19)
|z| ł |c|
Ž
|z|+|z|-|z| ł |c|
(1.20)
2|z|-|z|
ł |c|
(1.21)
2|z|-|c|
ł |z|
(1.22)
|z| > 2 Ů|z|
ł
|c| Ž
(1.23)
|z2+c| > 2|z|-c
ł
|z| Ž
(1.24)
|z2+c|
ł
|z|
(1.25)

Posloupnost tedy pro |c| < = z a |z| > 2 skutečně diverguje. Toho využijeme při testu, zda pro danou hodnotu c je posloupnost konvergující nebo divergující. Stačí zjistit, zda je zn > 2. Je-li tomu tak, posloupnost diverguje k nekonečnu. Jestliže je zn < 2, nelze žádným způsobem předpovědět, zda bude posloupnost z divergovat či konvergovat.

Pro |c| > 2 posloupnost diverguje vždy. Mandelbrotova množina tedy leží uvnitř kruhu o poloměru 2 se středem v počátku soustavy komplexních čísel.

Je zajímavé sledovat, jak se vyvíjejí různé posloupnosti hodnoty z pro různé startovní hodnoty c:

Na dalším obrázku jsou vykresleny některé orbity pro různé počáteční hodnoty c. Orbit je vlastně stopa po prováděných iteracích. Na obrázku můžeme vidět, že některé orbity začínají ve spirále směřovat ke svému cyklickému atraktoru, zatímco jiné míří do nekonečna.

Obrázek 1.3: Orbity v Mandelbrotově množině

Obrázek 1.4: Detail z Mandelbrotovy množiny

Systém je citlivý na počáteční podmínky. Pro dvě limitně stejné hodnoty c se mohou výsledné atraktory velmi lišit (nekonečno nebo nula). Existují dokonce důkazy, že tento systém má největší možnou citlivost na počáteční podmínky, jaká je pro systém s jednou proměnnou možná.

Pro hodnoty c, které leží uvnitř kruhu o poloměru 2, není možné přímo zjistit, zda posloupnost bude divergovat či konvergovat. Z toho důvodu je systém chaotický. Této vlastnosti se někdy využívá pro test rychlosti počítačů, kde je při měření zadán úkol výpočtu Mandelbrotovy množiny.

Body z Mandelbrotovy množiny leží v ploše, topologická dimenze je tedy rovna dvěma. Hausdorffova dimenze je taktéž rovna dvěma, protože Mandelbrotova množina je omezena kruhem o poloměru 2. Z těchto vět by vyplýval závěr, že Mandelbrotova množina není fraktál. To není pravda, musíme se podívat na dimenze hranice Mandelbrotovy množiny. Hranice Mandelbrotovy množiny nemá vnitřek (je nekonečně tenká), proto je její topologická dimenze 1. Hausdorffova dimenze této hranice je 2 (toto tvrzení vyžaduje matematický důkaz, který je velmi složitý).

To znamená, že hranice Mandelbrotovy množiny je fraktálem. Tento fraktál má dokonce maximální možný rozdíl mezi topologickou a Hausdorffovou dimenzí, jaký je v ploše možný. Jde tedy o nejčlenitější útvar, jaký lze v ploše o omezeném obsahu vytvořit.

1.3.3  Juliovy množiny v komplexní rovině

Juliovy množiny (anglicky Julia sets) jsou generovány pomocí stejného výrazu jako Mandelbrotova množina:

Pc(z) = z2+c
(1.26)

Což lze rozepsat:

z
=
z2+c
(1.27)
z
=
zx+jzy
(1.28)
c
=
cx+jcy
(1.29)
(zx+jzy)
=
(zx+jzy)2+(cx+jcy)
(1.30)
(zx+jzy)
=
zx2+2jzxzy+j2zy2+cx+jcy
(1.31)
(zx+jzy)
=
zx2+2jzxzy-zy2+cx+jcy
(1.32)

Od Mandelbrotovy množiny se Juliovy množiny liší pouze počáteční podmínkou. Zatímco u Mandelbrotovy množiny se začínalo se z0 = 0 a c odpovídalo pozici vykreslovaného bodu v komplexní rovině, u Juliových množin se z0 rovná pozici bodu v komplexní rovině a c je libovolně zvolená konstanta.

Z toho také vyplývá, že zatímco Mandelbrotova množina je pouze jedna, Juliových množin je nekonečné množství, stejně jako je nekonečné množství startovacích hodnot c.

J = {z | Pc0(0) š Ň "n ŽŇ; c,z Î C}
(1.33)

Pro různé hodnoty c může Juliova množina mít tyto vlastnosti:

Z těchto případů vyplývá značná citlivost na počáteční podmínky. Protože je hranice Mandelbrotovy množiny nekonečně tenká, může se pro tři hodnoty c ležící těsně vedle sebe Juliova množina rozpadnout na tři diametrálně odlišné tvary.

Stejně jako Mandelbrotova množina, tak i hranice Juliových množin má topologickou dimenzi rovnou jedné a Hausdorffovu dimenzi rovnou dvěma. Jde tedy o fraktál.

1.3.4  Juliovy množiny v hyperkomplexní rovině

Juliovy množiny v hyperkomplexní rovině jsou rozšířením Juliových množin v komplexní rovině. Místo počítání v ploše, kde jsou souřadné osy určeny čísly 1 a i, jsou u hyperkomplexních čísel souřadné osy určeny čtyřmi čísly 1, i, j a k.

U hyperkomplexních čísel používáme dvě algebry: hyperkomplexní a quaternion.

Hyperkomplexní algebra

Pro hyperkomplexní algebru je splněn komutativní zákon ab = ba, ale pro všechny prvky nemusí existovat inverzní prvek:

"h Î H Ü 1
h
Î H
(1.34)

Základní pravidla pro počítání v hyperkomplexní algebře:

ij
=
k
(1.35)
jk
=
-i
(1.36)
ki
=
-j
(1.37)
ji
=
k
(1.38)
kj
=
-i
(1.39)
ik
=
-j
(1.40)
ii
=
jj = -kk = -1
(1.41)
ijk
=
1
(1.42)

potom pro h1 = 1x1+iy1+jz1+kw1 a pro h2 = 1x2+iy2+jz2+kw2 je:

h1*h2
=
1(x1x2-y1y2-z1z2+w1w2)+
(1.43)
+
i(y1x2+x1y2-w1z2-z1w2)+
(1.44)
+
j(z1x2-w1y2+x1z2-y1w2)+
(1.45)
+
k(w1x2+z1y2+y1z2+x1w2)
(1.46)

a pro h = 1x+iy+jz+kw je:

h2
=
(1x+iy+jz+kw)2 =
(1.47)
=
x2+ixy+jxz+kxw+ixy+i2y2+
(1.48)
+
ijyz+ikyw+jxz+ijyz+j2z2+
(1.49)
+
jkzw+kxw+ikyw+jkwz+k2w2 =
(1.50)
=
1(x2-y2-z2+w2)+
(1.51)
+
i(2xy-2zw)+
(1.52)
+
j(2xz-2yw)+
(1.53)
+
k(2xw+2yz)
(1.54)

Pomocí těchto vzorců lze vygenerovat Juliovu množinu ve čtyřrozměrném prostoru. Pro zobrazení na obrazovce je nutné nejprve provést transformaci do třírozměrného prostoru (vyříznutí části 4D prostoru 3D prostorem). Po této transformaci lze provádět ve třírozměrném prostoru běžné transformace pro zobrazení třírozměrného tělesa na plochu (rotace, posun, perspektiva).

Juliova množina ve 4D prostoru má topologickou dimenzi rovnu třem a Hausdorffovu dimenzi rovnu čtyřem, jde tedy o fraktál.

Po transformaci do 2D prostoru má hranice Juliovy množiny Hausdorffovu dimenzi rovnu dvěma, z čehož plyne, že jde také o fraktál. Při transformaci do 3D prostoru má hranice Juliovy množiny (jde tady o plochu) Hausdorffovu dimenzi rovnu třem, jde tedy opět o fraktál.

Quaternion algebra

Obrázek 1.5: 3D řez čtyřrozměrnou Juliovou množinou

Pro quaternion algebru není splněn komutativní zákon ab š ab, ale pro každý prvek existuje inverzní prvek:

"q Î Q Ű 1
q
Î Q
(1.55)

Základní pravidla pro počítání v quaternion algebře:

ij
=
k
(1.56)
jk
=
i
(1.57)
ki
=
j
(1.58)
ji
=
-k
(1.59)
kj
=
-i
(1.60)
ik
=
-j
(1.61)
ii
=
jj = kk = -1
(1.62)
ijk
=
-1
(1.63)

pro q1 = 1x1+iy1+jz1+kw1 a q2 = 1x2+iy2+jz2+kw2 platí:

q1q2
=
1(x1x2-y1y2-z1z2-w1w2)+
(1.64)
+
i(y1x2+x1y2+w1z2-z1w2)+
(1.65)
+
j(z1x2-w1y2+x1z2+y1w2)+
(1.66)
+
k(w1x2+z1y2-y1z2+x1w2)
(1.67)

Potom pro q = (1x+iy+jz+kw):

q2
=
(x+iy+jz+kw)2 =
(1.68)
=
x2+ixy+jxz+kxw+ixy+i2y2+
(1.69)
+
ijyz+ikyw+jxz+ijyz+j2z2+
(1.70)
+
jkzw+kxw+ikyw+jkwz+k2w2 =
(1.71)
=
1(x2-y2-z2-w2)+
(1.72)
+
2ixy+2jxz+2kxw
(1.73)

Juliova množina se v quaternion algebře vytvoří stejně jako v hyperkomplexní algebře. Výsledný tvar je samozřejmě odlišný, ale pro topologickou a Hausdorffovu dimenzi platí stejné zákonitosti jako v hyperkomplexní algebře.

1.3.5  Jiné dynamické systémy

Nelineárních dynamických systémů je velké množství, například Lorenzův dynamický systém, Eulerova substituce pro počítání diferenciálních rovnic nebo systémy simulující difůzi. Z těchto systémů si ukážeme pouze obrázky bez matematických odvození.

Systémy simulující difůzi jsou vhodné pro vykreslování objektů, které simulují růst rostlin a trávy, což je ostatně vidět i z obrázků.

Obrázek 1.6: Dynamický systém - Lorenzův atraktor

Obrázek 1.7: Dynamický systém - Eulerova substituce

Obrázek 1.8: Dynamický systém - simulace difůze

Obrázek 1.9: Dynamický systém - simulace difůze

1.4  Závěr

Zkoumání nelineárních dynamických systémů mělo závažný vliv na chápání světa jako deterministického systému.

Díky úspěchům vědeckých teorií, zejména Newtonovy gravitační teorie, došel francouzský vědec Pierre Simon Laplace k názoru, že všechny události jsou jednou provždy určeny - determinovány. To bylo počátkem devatenáctého století. Laplace se domníval, že existuje soubor vědeckých zákonů, jejichž znalost nám umožní předpovědět všechno, co se ve vesmíru v budoucnosti odehraje; stačí k tomu dokonale poznat stav vesmíru v určitém časovém okamžiku. Známe-li kupříkladu polohu a rychlost těles sluneční soustavy, můžeme pomocí Newtonova zákona vypočítat jejich pohybový stav v kterémkoli okamžiku. V tomto případě se zdá být determinismus vskutku velmi dobře odůvodněný. Laplace šel ještě dál a předpověděl. že zákony obdobné Newtonovým vládnou také všemu ostatnímu dění, lidské chování nevyjímaje.

Dnes již víme, že tento názor není pravdivý. V kvanové fyzice platí princip neurčitosti, který říká, že pozorovatel měřením nějakého systému tento systém více či méně ovlivňuje. Čím přesnější má být měření, tím více je systém ovlivněn. Tato chyba se nedá nijak obejít a její velikost je rovna Planckově konstaně h.

Také stav dynamických systémů, které mají velkou citlivost na počáteční podmínky, nelze předpovědět, i když pravidla pro jejich dynamický vývoj jsou deterministická. To například vylučuje možnost přesné předpovědi počasí na delší časový úsek. I pro velmi malé rozdíly v počátečních podmínkách jsou výsledné stavy diametrálně odlišné (jasno - tornádo). Také některé matematické metody (hlavně numerické řešení diferenciálních rovnic) vykazují podobné vlastnosti.

Obsah

1  Nelineární dynamické systémy
    1.1  Úvod
    1.2  Základní pojmy
        1.2.1  Dynamický systém
        1.2.2  Lineární systém
        1.2.3  Nelineární systém
        1.2.4  Stavový prostor
        1.2.5  Stupně volnosti
        1.2.6  Atraktor dynamického systému
        1.2.7  Chaos
    1.3  Dynamické systémy s fraktální strukturou
        1.3.1  Funkce populačního růstu
            Model populačního růstu
        1.3.2  Mandelbrotova množina
        1.3.3  Juliovy množiny v komplexní rovině
        1.3.4  Juliovy množiny v hyperkomplexní rovině
            Hyperkomplexní algebra
            Quaternion algebra
        1.3.5  Jiné dynamické systémy
    1.4  Závěr


File translated from TEX by TTH, version 2.25.
On 14 Nov 1999, 23:37.


Předchozí kapitola Další kapitola Obsah Úvodní stránka Domácí stránka E-mail