Výstupní transformace  

     
Úvodní stránka
  
Předchozí kapitola        
   Obsah 
(c)1999,2000
  
Další kapitola    
Pavel Tišnovský
 
E-mail


Obsah

1  Výstupní transformace
    1.1  Přehled výstupních transformací
    1.2  Parametry transformací
    1.3  Magnet
    1.4  Lineární zúžení
    1.5  Kvadratické zúžení
    1.6  Sinusové zúžení
    1.7  Ohýbání
    1.8  Zkrut
    1.9  Kruhový zkrut
    1.10  Spirální zkrut
    1.11  Černá díra
    1.12  Inverzní černá díra
    1.13  Kruhová inverze
    1.14  Transformace zŽ z2
    1.15  Transformace zŽ z3
    1.16  Transformace zŽ z4
    1.17  Transformace zŽ z5
    1.18  Transformace zŽ z6
    1.19  Inverzní Juliova množina
    1.20  Univerzální transformace

Kapitola 1
Výstupní transformace

1.1  Přehled výstupních transformací

Výstupní transformace jsou vlastně vzorce, které se aplikují na bod v dvoudimenzionálním (2D) prostoru. Vždy tedy jde o dvě rovnice, protože potřebujeme dvě výstupní veličiny - souřadnici x a y.

Zatímco transformace používané při vytváření IFS koláže jsou lineární, výstupní transformace mohou být obecně nelineární. To znamená, že množina bodů, které leží na přímce, bude pro provedení transformace vytvářet jinou křivku než přímku (například spirálu).

Výstupní transformace lze zhruba rozdělit do dvou skupin. Tyto dvě skupiny se navzájem liší v pojetí zadávaných bodů.

V první skupině jsou transformace, které za svůj vstup a výstup považují bod v dvoudimenzionálním (Eukleidovském) prostoru. Mezi tyto transformace patří:

V druhé skupině jsou transformace, které pracují s komplexními čísly. Vstupem je tedy komplexní číslo a výstupem taktéž komplexní číslo. Rovnice s komplexními čísly lze rozepsat do rovnic, kde se používá reálná a imaginární složka komplexního čísla. Za reálnou složku je potom považována x-ová souřadnice, za imaginární složku je považována souřadnice y-ová.

Mezi tyto transformace patří:

V dalších podkapitolách následuje přesnější popis jednotlivých transformací. U každé transformace je napsáno, jaký má efekt na výsledný objekt (IFS koláž), dále jsou uvedeny parametry transformace a zápis její rovnice. Na levé straně rovnice jsou zapsány nové souřadnice bodu, na pravé jsou použity staré souřadnice bodu. 1

1.2  Parametry transformací

Dialog pro editaci transformací nabízí pro všechny transformace jednotný způsob zadávání parametrů. Tyto parametry nyní zevrubně popíšeme:

1.3  Magnet

Magnet je transformace, která je určena vztažným bodem (Xs,Ys) a jedním faktorem, který ovlivňuje vliv vztažného bodu na transformaci.

Vztažný bod zde působí jako magnet, ke kterému jsou výsledné body přitahovány. Efekt je stejný jako u běžného magnetu, přitažlivá síla tedy působí tím více, čím je bod blíže k vztažnému bodu. Naopak, čím je bod dále od vztažného bodu, tím méně působí přitažlivá síla.

Velikost síly také závisí na faktoru K1. Čím je hodnota faktoru K1 větší, tím méně síla působí na objekt. Velikost síly je tedy nepřímo úměrná faktoru K1.

Faktor K1 nesmí být nulový, neboť by při výpočtu docházelo k dělení nulou.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod ve kterém je umístěn magnet)
K1 faktor, který ovlivňuje vliv vztažného bodu na transformaci (sílu magnetu).


Rovnice:

X2
=
X1+ (Xs-X1)*|Y1-Ys|
K1*500
(1.1)
Y2
=
Y1+ (Ys-Y1)*|X1-Xs|
K1*500
(1.2)

1.4  Lineární zúžení

Lineární zúžení v určité míře vychází z magnetu, ale rovnice jsou použity v jiném smyslu. Tato transformace má ten efekt, že zužuje objekt směrem od zadaného vztažného bodu.

Zužování probíhá lineárně, a to přímo úměrně vzdálenosti od vztažného bodu. Směr zužování je dán dalším parametrem, protože zužování může probíhat jak ve směru horizontálním, tak i vertikálním.

Průběh transformace dále ovlivňuje parametr K1, který určuje rychlost zužování. Závislost je, podobně jako u magnetu, nepřímo úměrná velikosti parametru K1. To znamená, že čím větší je K1, tím menší je viditelná působnost transformace.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod od kterého se začíná zužovat)
K1 faktor, který ovlivňuje vliv vztažného bodu na transformaci (rychlost zužování).
Smer udává směr, kterým bude transformace probíhat.
Směr transformace může být vertikální nebo horizontální.


Rovnice:

Vertikální směr:

X2
=
X1 + (Xs - X1) * |Y1 - Ys|
K1*500
(1.3)
Y2
=
Y1
(1.4)

Horizontální směr:

X2
=
X1
(1.5)
Y2
=
Y1 + (Ys - Y1) * |X1 - Xs|
K1*500
(1.6)

1.5  Kvadratické zúžení

Kvadratické zúžení je rozšířením lineárního zůžení. Efekt této transformace je podobný, ale v určité vzdálenosti od středu transformace dochází k opačnému efektu. To znamená, že objekt je odpuzován od středu transformace.

Zužování probíhá od vztažného bodu. Směr zužování je dán dalším parametrem, protože zužování může probíhat jak ve směru horizontálním, tak i vertikálním.

Průběh transformace ovlivňuje parametr K1, který určuje rychlost zužování. Závislost je, podobně jako u magnetu, nepřímo úměrná velikosti parametru K1. To znamená, že čím větší je K1, tím menší je viditelná působnost transformace.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod od kterého se začíná zužovat)
K1 faktor, který ovlivňuje vliv vztažného bodu na transformaci.
Smer udává směr, kterým bude transformace probíhat.
Směr transformace může být vertikální nebo horizontální.


Rovnice:

Vertikální směr:

X2
=
X1 + (Xs - X1) * (Y1 - Ys)2
K1*5000
(1.7)
Y2
=
Y1
(1.8)

Horizontální směr:

X2
=
X1
(1.9)
Y2
=
Y1 + (Ys - Y1) * (X1 - Xs)2
K1*5000
(1.10)

1.6  Sinusové zúžení

Tato transformace má výsledný efekt podobný jako transformace předchozí. Generovaný objekt je také zužován. Není však zužován lineárně, ale průběh odpovídá funkci sinus.

Zužování probíhá podél osy, která je určena směrem transformace. Směr může být jak vertikální, tak i horizontální.

Průběh transformace lze ovlivnit dvěma faktory. První faktor K1 určuje, stejně jako v předchozích transformacích, vliv vztažného bodu na transformaci. Druhý faktor K2 je použit jako multiplikativní konstatna při výpočtu funkce sinus, takže ovlivňuje délku a počet period této funkce. To se projevuje změnou počtu "zvlnění" generovaného objektu. Je však třeba dát pozor na to, aby druhý faktor nebyl příliš velký. To by se projevilo "rozpadnutím" výsledného objektu v důsledku mnoha periodických opakování funkce sinus (nastává vlastně aliasing, protože délka periody funkce sinus je srovnatelná s délkou kroku mezi jednotlivými body).
Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod od kterého se začíná zužovat)
K1 faktor, který ovlivňuje vliv vztažného bodu na transformaci.
K2 faktor, který ovlivňuje délku a počet period funkce sinus.
Smer udává směr, kterým bude transformace probíhat.
Směr transformace může být vertikální nebo horizontální.


Rovnice:

Vertikální směr:

X2
=
X1 +
5*(Xs - X1) * sin( K2*|Y1 - Ys|
400
)

K1*10
(1.11)
Y2
=
Y1
(1.12)

Horizontální směr:

X2
=
X1
(1.13)
Y2
=
Y1 +
5*(Ys - Y1) * sin( K2*|X1 - Xs|
400
)

K1*10
(1.14)

1.7  Ohýbání

Transformace má takový vliv, jakoby byl výsledný objekt ohnutý kolem vztažného bodu. Tato transformace je opět určena vztažným bodem, směrem transformace a dvěma faktory, které ovlivňují celkový vliv transformace na objekt.

Směr transformace může být horizontální i vertikální. Faktor K1 určuje sílu transformace a je v tomto případě přímo úměrný velikosti K. Faktor K2 je k zadání velikosti transformace. Faktory K1 a K2 tedy spolu úzce souvisí.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod ve kterém je objekt ohnutý)
K1 faktor, který ovlivňuje vliv vztažného bodu na transformaci.
K2 faktor, který určuje sílu transformace
Smer udává směr, kterým bude transformace probíhat.
Směr transformace může být vertikální nebo horizontální.


Rovnice:

Vertikální směr:

X2
=
X1 +
  _____________
Ö20*K1* |Y1-Ys|
 
* (K2-5)

3
(1.15)
Y2
=
Y1
(1.16)

Horizontální směr:

X2
=
X1
(1.17)
Y2
=
Y1 +
  _____________
Ö20*K1* |X1-Xs|
 
* (K2-5)

3
(1.18)

1.8  Zkrut

Tato transformace má na výsledný objekt efekt otáčení okolo osy, která je zadaná vztažným bodem. Není to ovšem nahrazení klasického třídimenzionálního promítání do dvoudimenzionální roviny, jedná se jen o hrubé přiblížení, i když vzorce jsou podobné.

Body, které leží blíže ke vztažnému bodu, jsou zkrouceny více než ty body, které jsou vzdálenější. Transformace je určena vztažným bodem, dvěma faktory transformace a směrem, ve kterém transformace působí.

Faktor K1 přímo ovlivňuje velikost zkroucení výsledného objektu. Faktor K2 opět ovlivňuje sílu transformace.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod ve kterém je osa otáčení zkrutu)
K1 faktor, který ovlivňuje velikost zkrutu.
K2 faktor, který určuje sílu transformace
Směr udává směr, kterým bude transformace probíhat.
Směr transformace může být vertikální nebo horizontální.


Rovnice:

Vertikální směr:

X2
=
X1 + (Xs-X1)*cos(|Ys-Y1|*K1*0.003)*(K2-5)
3
(1.19)
Y2
=
Y1 + K2*10*sin(|Xs-X1|*K1*0.003)
(1.20)

Horizontální směr:

X2
=
X1 + K2*10*sin(|Ys-Y1|*K1*0.003)
(1.21)
Y2
=
Y1 + (Ys-Y1)*cos(|Xs-X1|*K1*0.003)*(K2-5)
3
(1.22)

1.9  Kruhový zkrut

Kruhový zkrut, podobně jako zkroucení, způsobuje otočení objektu, nikoliv však v ose zadané vztažným bodem, ale v z-ové ose. Deformaci si můžeme představit jako když se snažíme krouživým pohybem v jednom bodě krčit tkaninu.

Transformace je ovlivněna polohou vztažného bodu a dvěma faktory. První faktor ovlivňuje počet "kruhů", které transformace vytvoří. Čím větší je toto číslo, tím více kruhů bude obsahovat výsledný objekt. Druhý faktor ovlivňuje velikost síly, která způsobuje deformaci objektu. Čím větší má tento faktor hodnotu, tím menší síla působí na výsledný objekt. Vztažný bod určuje místo, kde se začnou kruhy generovat.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod ve kterém se začínají generovat kruhy)
K1 faktor, který ovlivňuje počet kruhů
K2 faktor, který určuje sílu transformace

Rovnice:

P
=
  _______________
Ö(X1-Xs)2+(Y1-Ys)2
 
(1.23)
X2
=
X1 + |X1-Xs|*cos(K1*P*0.001)-|Y1-Ys|*sin(K1*P*0.001)
K2
(1.24)
Y2
=
Y1 + |X1-Xs|*sin(K1*P*0.001)-|Y1-Ys|*cos(K1*P*0.001)
K2
(1.25)

1.10  Spirální zkrut

Spirální zkrut je transformace, která se velmi podobá transformaci předchozí. Také zde dochází ke zkroucení. Nejvýznamnější rozdíl tkví v tom, že u této transformace je sice vzdálenost počítána od vztažného bodu, ale otočení se provádí okolo počátku.

Transformace má, kromě referenčního bodu, ještě jeden parametr. Tento parametr určuje, podobně jako v předchozí transformaci, počet kruhů, které tato transformace vytvoří. Výsledkem transformace je základní objekt, který je jakoby övinut" okolo referenčního bodu.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod (bod ve kterém se začíná počítat transformace)
K1 faktor, který ovlivňuje počet kruhů
K2 faktor, který určuje sílu transformace

Rovnice:

P
=
  _______________
Ö(X1-Xs)2+(Y1-Ys)2
 
*K1*0.001
(1.26)
X2
=
X1 + X1*cos(P)-Y1*sin(P)
K2
(1.27)
Y2
=
Y1 + X1*sin(P)+Y1*cos(P)
K2
(1.28)

1.11  Černá díra

V této transformaci jsou objekty přitahovány k vztažnému bodu. Transformace má dva parametry a to polohu vztažného bodu a faktor, který určuje, jakou silou výsledná transformace působí na generovaný objekt. Tento faktor působí přímou uměrou na generování výsledného objektu.

Při této transformaci může teoreticky dojít k dělení nulou, jestliže je zadán vztažný bod 0,0. Tato chyba je však programem rozpoznána a referenční bod je posunut tak, aby nezpůsobil kolaps programu.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod do kterého je objekt vtahován
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace

Rovnice:

P
=
(X1-Xs)2+(Y1-Ys)2
(1.29)
X2
=
X1*P*K1*0.00001
(1.30)
Y2
=
Y1*P*Y1*0.00001
(1.31)

1.12  Inverzní černá díra

Tato transformace vznikla modifikací transformace předchozí. Rozdíl je v tom, že ve vzorci pro výpočet transformace je počáteční poloha bodu ve jmenovateli zlomku.

To má za následek, že body se ve skutečnosti rozebíhají podle polohy vztažného bodu. Čím je bod blíže k počátku, tím vzdálenější je po výsledné transformaci a naopak.

Jako v předchozích transformacích, i tato má jeden faktor ovlivňující sílu transformace na generovaný objekt. Tento faktor působí přímou úměrou na generování výsledného objektu.

Jestliže je jedna souřadnice generovaného bodu rovna nule, mohlo by dojít k dělení nulou. Program tuto situaci řeší tím, že pro tyto body nepočítá žádnou transformaci.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace

Rovnice:

X1
=
0 Ţ X2 = 0
(1.32)
X1
š
0 Ţ X2 = 10*K1* Xs
X1
(1.33)
Y1
=
0 Ţ Y2 = 0
(1.34)
Y1
š
0 Ţ Y2 = 10*K1* Ys
Y1
(1.35)

1.13  Kruhová inverze

U této transformace se předpokládá, že jak vstupní, tak i výstupní bod jsou komplexní čísla. Reálné složce odpovídá x-ová souřadnice, imaginární složce odpovídá y-ová souřadnice bodu, který vstupuje do transformace.

Tato transformace provádí klasickou kruhovou inverzi, tedy transformaci z Ž 1/z. Proměnná z je zde komplexní číslo. Po rozepsání na reálné a imaginární složky má potom transformace tvar uvedený rovnicemi.

Transformace má jeden faktor, který určuje její sílu. I u této transformace by mohlo dojít k dělení nulou, to je však programem ošetřeno.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace

Rovnice:

D
=
(X1-Xs)2 + (Y1-Ys)2
(1.36)
X2
=
15000*K1* X1-Xs
D
(1.37)
Y2
=
-15000*K1* Y1-Ys
D
(1.38)
(1.39)
Postup při vytváření rovnic:
z
=
1
z
(1.40)
z
=
x+jy
(1.41)
z
=
1
x+jy
(1.42)
z
=
1
x+jy
* x-jy
x-jy
= x-jy
(x+jy)(x-jy)
(1.43)
z
=
x-jy
x2+y2
(1.44)
x
Ž
x
x2+y2
(1.45)
y
Ž
-y
x2+y2
(1.46)

1.14  Transformace zŽ z2

Následuje další transformace, která probíhá v komplexní rovině. V tomto případě se jedná o transformaci zŽ z2.

Mocninná řada komplexních čísel je používaná například při výpočtu známé Mandelbrotovy množiny. Mezi její zajímavé vlastnosti patří to, že transformace zdvojnásobuje argument komplexního čísla, což vytváří dvojité obrazy při aplikaci na generovaný objekt.

Jak již vyplývá z definice, transformace nemá žádné signularity a tudíž nedochází k dělení nulou ani jiným vyjímkám, které by bylo potřeba ošetřovat.

Koeficienty K1 a K2 vzájemně ovlivňují velikost a sílu transformace.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace
K2 faktor, který ovlivňuje velikost transformace


Rovnice:

X1
Ž
X1
50
* K2
5
(1.47)
Y1
Ž
Y1
50
* K2
5
(1.48)
X2
=
K1*(X12-Y12)-Xs
(1.49)
Y2
=
K1*2*X1*Y1-Ys
(1.50)
(1.51)

Postup při vytváření rovnic:

z
Ž
z2
(1.52)
z
=
x+jy
(1.53)
z
Ž
(x+jy)2 = (x+jy)*(x+jy) = x2+2jxy-y2
(1.54)
x
Ž
x2-y2
(1.55)
y
Ž
2*xy
(1.56)

1.15  Transformace zŽ z3

Opět se jedná o transformaci, která se aplikuje na komplexní čísla. V tomto případě jde o transformaci podobnou transformaci předchozí s tím rozdílem, že se zvýšila mocnina u čísla z.

Jedná se o transformaci zŽ z3 , kde z je komplexní číslo. Podobně jako v předchozím případě, i zde nejsou v transformaci žádné singularity.

Koeficienty K1 a K2 vzájemně ovlivňují velikost a sílu transformace.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace
K2 faktor, který ovlivňuje velikost transformace


Rovnice:

X1
Ž
X1
70
* K2
5
(1.57)
Y1
Ž
Y1
70
* K2
5
(1.58)
X2
=
K1*(X13-3*X1*Y12)-Xs
(1.59)
Y2
=
K1*(3*X12*Y1-Y13)-Ys
(1.60)
(1.61)

Postup při vytváření rovnic:

z
Ž
z3
(1.62)
z
=
x+jy
(1.63)
z
Ž
(x+jy)3 = (x+jy)*(x+jy)*(x+jy) = (x2+2jxy-y2)*(x+jy)
(1.64)
z
Ž
x3-xy2+2jx2y+jx2y-jy3-2xy2 = x3-3xy2+3jx2y-jy3
(1.65)
x
Ž
x3-3xy2
(1.66)
y
Ž
3x2y-y3
(1.67)

1.16  Transformace zŽ z4

Tato transformace se podobá oběma předchozím transformacím. Opět je zvýšena mocnina, nyní se jedná o transformaci zŽ z4. Vlastnosti má tato transformace podobné oběma předchozím transformacím.

Všechny transformace, které používají mocninu komplexního čísla, se vyznačují symetrií výsledného obrázku. Stupeň symetrie je úměrný použité mocnině při výpočtu.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace
K2 faktor, který ovlivňuje velikost transformace


Rovnice:

X1
Ž
X1
100
* K2
5
(1.68)
Y1
Ž
Y1
100
* K2
5
(1.69)
X2
=
K1*(X14+Y14-6*X12*Y12)-Xs
(1.70)
Y2
=
K1*(4*X13*Y1-4*X1*Y13)-Ys
(1.71)
(1.72)

Postup při vytváření rovnic:

z
Ž
z4
(1.73)
z
=
x+jy
(1.74)
z
Ž
(x+jy)4 = (x+jy)*(x+jy)*(x+jy)*(x+jy)
(1.75)
z
Ž
(x2+2jxy-y2)*(x2+2jxy-y2)
(1.76)
z
Ž
x4-x2y2+2jx3y-x2y2+y4-2jxy3+2jxy3-4x2y2
(1.77)
x
Ž
x4+y4-6x2y2
(1.78)
= y
Ž
4x3y-4xy3
(1.79)

1.17  Transformace zŽ z5

Transformace zŽ z5 je vytvářena podobným způsobem jako předchozí tři transformace. Stupeň mocniny u komplexního čísla je pět, to znamená i větší stupeň symetrie výsledného obrázku.

Můžeme si všimnout i toho, že se ve vzorcích používají různé hodnoty pro dělení počáteční souřadnice bodu X1 a Y1. Se zvyšující se mocninou se zvyšují i tato čísla, protože se musí zmenšit obrázek získaný aplikací dané transformace.

Vysoká mocnina u komplexního čísla znamená nejen n-násobné zvětšení úhlu (a tím dosažený efekt symetrie) komplexního čísla, ale i zvětšení absolutní hodnoty, což musíme ve vzorcích zohlednit, aby byl výsledný obrázek zobrazitelný v okně 2048x1536 pixelů.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace
K2 faktor, který ovlivňuje velikost transformace


Rovnice:

X1
Ž
X1
150
* K2
5
(1.80)
Y1
Ž
Y1
150
* K2
5
(1.81)
X2
=
K1*(X15-10*X13*Y12+5*X1*Y4)-Xs
(1.82)
Y2
=
K1*(Y15-10*X12*Y13+5*X14*Y1)-Ys
(1.83)
(1.84)

Odvození rovnic zde již nebudeme uvádět, protože se jedná o poměrně zdlouhavý výpočet, i když není příliš komplikovaný.

1.18  Transformace zŽ z6

Předposlední transformace, která aplikuje na bod komplexní funkce je transformace zŽ z6. Jde o transformaci shodnou s předchozí transformací s tou změnou, že je zvýšen stupeň mocniny u komplexního čísla.

Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace
K2 faktor, který ovlivňuje velikost transformace


Rovnice:

X1
Ž
X1
200
* K2
5
(1.85)
Y1
Ž
Y1
200
* K2
5
(1.86)
X2
=
K1*(X16-Y16-15*X14*Y12+15*X12*Y14)-Xs
(1.87)
Y2
=
K1*(6*X15*Y1+6*X1*Y15-20*X13*Y13)-Ys
(1.88)
(1.89)

Další podobné transformace (vyšší mocniny komplexních čísel) nejsou použity, protože efekt symetrie je pro větší hodnotu mocniny narušen periodičností goniometrických funkcí.

1.19  Inverzní Juliova množina

Tato transformace využívá polohu transformovaného bodu jako vyjádření komplexního čísla. Pro výpočet se nepoužívá mocnina, jako v předchozích transformacích, ale druhá odmocnina komplexního čísla.

Při výpočtu druhé odmocniny vyjdou vždy dvě řešení, my však využijeme pouze první z nich, jinak by byl výsledný obrázek složen z dvojnásobného počtu bodů.

Vzorec pro výpočet druhé odmocniny z komplexního čísla je používán i pro výpočet inverzní Juliovy množiny. Při tomto výpočtu se vezme libovolný bod v rovině a aplikuje se na něj výpočet odmocniny. Od výsledku se odečte komplexní konstanta c a bod se použije pro další iteraci. Při dostatečném počtu iterací dostaneme zobrazenou hranici Juliovy množiny, která odpovídá zadané konstantě c.

Název této transformace je odvozen od tohoto výpočtu, i když s ním jinak nesouvisí, jelikož se neprovádí popsaný iterační proces. Parametry:

Xs, Ys vztažný bod pro transformaci
K1 faktor, který ovlivňuje sílu transformace
K2 faktor, který ovlivňuje velikost transformace


Rovnice:

P
=
  _______________
Ö(X1*K2)2+(Y1*K2)2
 
(1.90)
X2
=
10*K1*   ć
 ú
Ö

|P+X1|
2
 
(1.91)
Y2
=
10*K1*   ć
 ú
Ö

|P-X1|
2
 
(1.92)
X1 < 0
Ţ
X2Ž Xs-X2
(1.93)
X1 ł 0
Ţ
X2Ž Xs+X2
(1.94)
Y1 < 0
Ţ
Y2Ž Ys-Y2
(1.95)
Y1 ł 0
Ţ
Y2Ž Ys+Y2
(1.96)

Postup při vytváření rovnic:

z
Ž
Öz
(1.97)
z
=
|z|(cos(a)+j*sin(a))
(1.98)
Öz
=
  ___
Ö|z|
 
(cos( a
2
)+j*sin( a
2
))
(1.99)
z
=
x+jy
(1.100)
|z|
=
Ö(x2+y2)
(1.101)
x
=
|z|*cos(a)
(1.102)
y
=
|z|*sin(a)
(1.103)
xó
=
  ___
Ö|z|
 
cos( a
2
) =   ___
Ö|z|
 
  ć
 ú
Ö

1+cos(a)
2
 
(1.104)
xó
=
  ć
 ú
Ö

|z|+|z|cos(a)
2
 
=   ć
 ú
Ö

|z|+x
2
 
(1.105)
yó
=
  ___
Ö|z|
 
sin( a
2
) =   ___
Ö|z|
 
  ć
 ú
Ö

1-cos(a)
2
 
(1.106)
yó
=
  ć
 ú
Ö

|z|-|z|cos(a)
2
 
=   ć
 ú
Ö

|z|-x
2
 
(1.107)

1.20  Univerzální transformace

Poslední transformací, která je implementována je takzvaná univerzální transformace. Její název je odvozen z toho, že pomocí této transformace lze vytvořit poměrně široké spektrum dalších transformací.

Při použití této transformace se na daný (vstupní) bod aplikuje některá funkce nebo kombinace dvou funkcí. Výsledek je potom použit pro relativní změnu polohy zadaného bodu. Bod je tedy posunut ze své počáteční pozice o hodnotu, která odpovídá této transformaci.

V dialogu pro zadání transformace lze vybrat z několika základních funkcí, které se potom aplikují na vstupní bod. Lze použít tyto funkce:

Výslednou funkci lze z uvedených funkcí složit šesti způsoby:

Před první aplikací funkcí jsou vstupní hodnoty x a y upraveny tak, že jsou vynásobeny multiplikačním koeficientem, který leží v rozsahu -0.25 až 0.25. Toho lze využít například pro změnu počtu period u funkcí sinus a cosinus. Čím vyšší je tento koeficient, tím více period nastane. Musíme si uvědomit, že vstupní bod leží v rozsahu -1000 - 1000 a perioda funkce sinus a cosinus je 2p.

Po aplikaci funkcí na upravené body xó a yó se provede výsledné vynásobení koeficientem, který leží v rozsahu od -2.5 do 2.5. Tento koeficient udává velikost výchylky vygenerovaných bodů od pravidelné mřížky. Čím vyšší je absolutní hodnota tohoto koeficientu, tím větší budou výchylky způsobené touto transformací.

Obsah

1  Výstupní transformace
    1.1  Přehled výstupních transformací
    1.2  Parametry transformací
    1.3  Magnet
    1.4  Lineární zúžení
    1.5  Kvadratické zúžení
    1.6  Sinusové zúžení
    1.7  Ohýbání
    1.8  Zkrut
    1.9  Kruhový zkrut
    1.10  Spirální zkrut
    1.11  Černá díra
    1.12  Inverzní černá díra
    1.13  Kruhová inverze
    1.14  Transformace zŽ z2
    1.15  Transformace zŽ z3
    1.16  Transformace zŽ z4
    1.17  Transformace zŽ z5
    1.18  Transformace zŽ z6
    1.19  Inverzní Juliova množina
    1.20  Univerzální transformace


Poznámky:

1 Poznámka: musíme si uvědomit, že zatímco lineární transformace lze zapsat pomocí jedné transformační matice M, nelineární transformace tento způsob zápisu vylučují.


File translated from TEX by TTH, version 2.25.
On 16 Nov 1999, 22:46.


Předchozí kapitola Další kapitola Obsah Úvodní stránka Domácí stránka E-mail