Využití fraktální geometrie v jiných vědních disciplínách a v praxi

Jedním z problémů, které úzce souvisí s fraktály a dynamickými systémy je takzvaný problém tří těles. Jde o úlohu z klasické newtonovské fyziky. Problém tří těles je definován tak, že máme ve vesmíru tři tělesa a dané počáteční podmínky (tedy polohu těles, jejich hmotnost, počáteční rychlost a směr pohybu). Máme analyticky vypočítat polohu těles v libovolném okamžiku. Bylo dokázáno, že tento problém není řešitelný, což je jistě zajímavé, protože problém dvou těles je až triviálně jednoduchý (v newtonovské mechanice). Při studiu pohybu tří těles se ukázalo, že se tělesa pohybují po částečně chaotických drahách, a jsou přitahovány k určitým bodům na své dráze. Tyto body se pro svou vlastnost (přitažlivost, anglicky attraction) nazývají atraktory, v tomto případě podivné atraktory (anglicky strange attractors), jelikož je jejich poloha a působení opravdu divná. Systémů s podivnými atraktory je velmi mnoho a nemůžeme je zde všechny popsat. Další oblastí, kde byly objeveny fraktály, je obecně změna stavu některých materiálů. Podrobně byla studována například změna stavu magnetického materiálu na materiál nemagnetický. Materiál je uspořádán z elementarních magnetů, které v závislosti na teplotě určují, zda je materiál magnetický či nikoliv. Při nízkých teplotách je materiál jako celek magnetický, ale při mikroskopickém pohledu existují jisté lokální fluktuace, kde nejsou elementární magnety uspořádané. Naopak, za dostatečně vysoké teploty je materiál jako celek nemagnetický, ale existují domény, kde jsou elementární magnety uspořádány. Vlastnost magnetismu je tedy závislá na měřítku pohledu na materiál. Při kritické teplotě (takzvaná Curierova teplota) materiál přechází z magnetického stavu do nemagnetického a naopak. Jesliže má materiál tuto teplotu, vypadá stejně ve všech měřítkách a má fraktální strukturu. Při této teplotě také nemůžeme jednoznačně dokázat, zda je materiál magnetický či nikoli. Tato fraktální struktura existuje například i při změně skupenství látky, jako je tání ledu či vypařování vody. Zakladní stavy hmoty jsou z makroskopického hlediska tři (pevné, kapalné, plynné), můžeme přidat i plazmu a další (například degenerovaná hmota). Z mikroskopického hlediska je ovšem těchto stavů mnohem více. Fraktální strukturu hmoty potom můžeme vidět při přechodu hmoty z jednoho stavu do druhého stavu. Také Brownův pohyb má fraktální strukturu. Brownův pohyb vzniká chaotickým pohybem částeček v hmotě, který je způsoben nenulovou teplotou tělesa. Brownův pohyb lze sledovat například při míchání dvou kapalin či plynů, ale lze ho i poměrně věrně simulovat na počítači s využitím fraktální geometrie. Poslední dobou se fraktální geometrie využívá i v biologii a medicíně. Například při zkoumání vlastností krve se měří Hausdorffova dimenze jejich částeček. Někteří odborníci také zkoumají, zda má nějakou souvislost Hausdorffova dimenze povrchu mozku a inteligence člověka (povrch mozku je tvořen mozkovými závity, které svým počtem a členitostí určují různé schopnosti mozku, například paměť či inteligenci). Pravděpodobně největší uplatnění má fraktální geometrie a fraktály v počítačové grafice. Počítačová grafika dává vědcům aparát, pomocí kterého mohou fraktály detailně zkoumat, a naopak počítačová grafika hojně využívá poznatků vyplývajících ze zkoumání fraktálů. S rozvojem grafických schopností počítačů se stále více ukazovalo, že je potřeba objevit nové postupy, jak modelovat přírodní objekty. V principu jsou možné tři různé způsoby zadávání dat pro modely. Prvním způsobem je modelování objektů animátorem. Pro tento způsob se dlouhou dobu vytvářely modelovací programy typu CAD a CAM. V případě modelování technických a geometrických předmětů je tento způsob ideální. Problém nastává v případě, že chceme modelovat nějaký složitější přírodní objekt, například hory nebo stromy. Množství vytvářených dat je obrovské a vynaložená práce většinou neodpovídá kvalitě a věrohodnosti výsledku. Druhým způsobem je přímé snímání (skenování) daného objektu. Tato metoda má své uplatnění, ale není výhodná ve všech případech. Prostorové (trojrozměrné) skenery jsou drahá zařízení, která mají omezenou rozlišovací schopnost. Také jsou schopny skenovat pouze objekty určité velikosti a struktury. Například skenování hory či stromu je nemožné. Také objekty, které mají velkou členitost, je obtížné skenovat (hlava člověka s vlasy). Množství výstupních dat, která vycházejí po naskenování, je obrovské, protože je objekt reprezentován malými trojúhelníčky. Proto se tato metoda používá jen pro určitý okruh problémů a je vyhrazena jen CAD pracovištím, které mají možnost si toto drahé zařízení pořídit. Třetím způsobem je použít takzvané procedurální modelování. Animátor nezádává přímo tvar objektu, ale způsob jakým bude objekt generován. Tato metoda má tu výhodu, že objem zadávaných dat je většinou malý a výsledný objekt lze modifikovat změnou počátečních podmínek (tak lze vytvářet zajímavé animace, jako je například růst stromů). Nevýhodou je nutnost výběru správné metody pro generování určité množiny objektů a také nutnost pochopit, co který parametr znamená a jak se projeví na výsledném tvaru objektu. Při vytváření objektu (zadávání parametrů) není přímo vidět výsledek, pracuje se tedy metodou pokus-omyl. Při procedurálním modelování se mimo jiné používají i fraktály. Fraktály lze v počítačové grafice využít například ke generování přírodních útvarů jako jsou stromy, rostliny, hory, mraky, kameny atd. V této oblasti neexistuje lepší způsob, který by dával věrohodnější výsledky. Dále se fraktály hojně využijí při generování textur. Obrovskou výhodou fraktálů je jejich paměťová nenáročnost. Data pro texturu, která má být generovaná fraktálem mají velikost několika bytů nebo desítek bytů, oproti běžné bitmapě s velikostí řádově stovky kilobytů. Také je možno texturu zobrazit v různých velikostech, aniž by bylo vidět nějaké zkreslení, které běžně nastává u bitmapových textur. Tato paměťová nenáročnost je využita při fraktálové kompresi, o které se zmíníme v dalších kapitolách. Fraktály lze také využít při animaci. Rozšíříme-li generování fraktálu o jeden rozměr, lze tento nadbytečný rozměr považovat za čas a tímto způsobem fraktál animovat. Tato metoda je použita při zobrazování ohně nebo pohybujících se mraků. Lze ji také kombinovat se systémem částic (particles), což umožňuje animaci mnoha jevů, které nelze běžnými metodami zobrazit.