next up previous contents
Next: Juliovy množiny v komplexní Up: Dynamické systémy s fraktální Previous: Model populačního růstu

Mandelbrotova množina

Mandelbrotova množina (anglicky Mandelbrot Set nebo M-set) je nelineárním deterministickým fraktálem. Je to jeden z nejkrásnějších fraktálů, který se používá v počítačové grafice například ke generování textur nebo vytváření trojrozměrných modelů hor.
 
Figure: Celkový pohled na Mandelbrotovu množinu
\begin{figure}
\hspace{4cm} \special{em:graph mandel1.pcx}
\vspace{6cm}
\end{figure}

Mandelbrotova množina je definována jako množina bodů ležících v komplexní rovině, pro které platí následující zákon:

\begin{displaymath}M=\{c \vert P_c^0(0)\not=\infty \ \forall n \rightarrow\infty ;\ c,z\in\mathcal{C}\}
\end{displaymath} (2.8)

přičemž

Pc(z)=z2+c (2.9)

Mandelbrotova množina je tedy tvořena těmi body v komplexní rovině, které po nekonečném počtu iterací předchozí funkce nejsou v nekonečnu. Začíná se v bodě, který leží v nule. Parametrem je přitom komplexní číslo c. Předchozí rovnici si můžeme rozepsat:
z = z2+c (2.10)
z = zx+jzy (2.11)
c = cx+jcy (2.12)
(zx+jzy) = (zx+jzy)2+(cx+jcy) (2.13)
(zx+jzy) = zx2+2jzxzy+j2zy2+cx+jcy (2.14)
(zx+jzy) = zx2+2jzxzy-zy2+cx+jcy (2.15)

Poslední rovnici můžeme rozepsat pro zx a zy:
zx = zx2-zy2+cx (2.16)
zy = 2zxzy+cy (2.17)

Nyní si dokážeme, že pro |c|<=z a |z|>2 posloupnost diverguje.
|z|>2 $\textstyle \to$ $\displaystyle \vert z^2+c\vert\geq\vert z^2\vert-\vert c\vert$ (2.18)
|z|>2 $\textstyle \to$ $\displaystyle \vert z^2\vert>2\vert z\vert \to \vert z^2+c\vert>2\vert z\vert-c$ (2.19)
$\displaystyle \vert z\vert\geq\vert c\vert$ $\textstyle \to$ $\displaystyle \vert z\vert+\vert z\vert-\vert z\vert\geq\vert c\vert$ (2.20)
2|z|-|z| $\textstyle \geq\vert c\vert$   (2.21)
2|z|-|c| $\textstyle \geq\vert z\vert$   (2.22)
$\displaystyle \vert z\vert>2 \wedge \vert z\vert$ $\textstyle \geq$ $\displaystyle \vert c\vert \to$ (2.23)
|z2+c|>2|z|-c $\textstyle \geq$ $\displaystyle \vert z\vert \to$ (2.24)
|z2+c| $\textstyle \geq$ |z| (2.25)

Posloupnost tedy pro |c|<=z a |z|>2 skutečně diverguje. Toho využijeme při testu, zda pro danou hodnotu c je posloupnost konvergující nebo divergující. Stačí zjistit, zda je zn>2. Je-li tomu tak, posloupnost diverguje k nekonečnu. Jestliže je zn<2, nelze žádným způsobem předpovědět, zda bude posloupnost z divergovat či konvergovat. Pro |c|>2 posloupnost diverguje vždy. Mandelbrotova množina tedy leží uvnitř kruhu o poloměru 2 se středem v počátku soustavy komplexních čísel. Je zajímavé sledovat, jak se vyvíjejí různé posloupnosti hodnoty z pro různé startovní hodnoty c: Na dalším obrázku jsou vykresleny některé orbity pro různé počáteční hodnoty c. Orbit je vlastně stopa po prováděných iteracích. Na obrázku můžeme vidět, že některé orbity začínají ve spirále směřovat ke svému cyklickému atraktoru, zatímco jiné míří do nekonečna.
 
Figure: Orbity v Mandelbrotově množině
\begin{figure}
\hspace{4cm} \special{em:graph cloud.pcx}
\vspace{6cm}
\end{figure}


 
Figure: Detail z Mandelbrotovy množiny
\begin{figure}
\hspace{4cm} \special{em:graph mandel2.pcx}
\vspace{6cm}
\end{figure}

Systém je citlivý na počáteční podmínky. Pro dvě limitně stejné hodnoty c se mohou výsledné atraktory velmi lišit (nekonečno nebo nula). Existují dokonce důkazy, že tento systém má největší možnou citlivost na počáteční podmínky, jaká je pro systém s jednou proměnnou možná. Pro hodnoty c, které leží uvnitř kruhu o poloměru 2, není možné přímo zjistit, zda posloupnost bude divergovat či konvergovat. Z toho důvodu je systém chaotický. Této vlastnosti se někdy využívá pro test rychlosti počítačů, kde je při měření zadán úkol výpočtu Mandelbrotovy množiny. Body z Mandelbrotovy množiny leží v ploše, topologická dimenze je tedy rovna dvěma. Hausdorffova dimenze je taktéž rovna dvěma, protože Mandelbrotova množina je omezena kruhem o poloměru 2. Z těchto vět by vyplýval závěr, že Mandelbrotova množina není fraktál. To není pravda, musíme se podívat na dimenze hranice Mandelbrotovy množiny. Hranice Mandelbrotovy množiny nemá vnitřek (je nekonečně tenká), proto je její topologická dimenze 1. Hausdorffova dimenze této hranice je 2 (toto tvrzení vyžaduje matematický důkaz, který je velmi složitý). To znamená, že hranice Mandelbrotovy množiny je fraktálem. Tento fraktál má dokonce maximální možný rozdíl mezi topologickou a Hausdorffovou dimenzí, jaký je v ploše možný. Jde tedy o nejčlenitější útvar, jaký lze v ploše o omezeném obsahu vytvořit.
next up previous contents
Next: Juliovy množiny v komplexní Up: Dynamické systémy s fraktální Previous: Model populačního růstu
Tisnovsky Pavel
1999-05-30