Next: Juliovy množiny v komplexní
Up: Dynamické systémy s fraktální
Previous: Model populačního růstu
Mandelbrotova množina (anglicky Mandelbrot Set nebo
M-set) je nelineárním deterministickým fraktálem. Je to jeden z
nejkrásnějších fraktálů, který se používá v počítačové grafice například
ke generování textur nebo vytváření trojrozměrných modelů hor.
Figure:
Celkový pohled na Mandelbrotovu množinu
|
Mandelbrotova množina je definována jako množina bodů ležících v komplexní rovině, pro které platí následující zákon:
|
(2.8) |
přičemž
Mandelbrotova množina je tedy tvořena těmi body v komplexní rovině,
které po nekonečném počtu iterací předchozí funkce nejsou v nekonečnu.
Začíná se v bodě, který leží v nule. Parametrem je přitom komplexní
číslo c.
Předchozí rovnici si můžeme rozepsat:
z |
= |
z2+c |
(2.10) |
z |
= |
zx+jzy |
(2.11) |
c |
= |
cx+jcy |
(2.12) |
(zx+jzy) |
= |
(zx+jzy)2+(cx+jcy) |
(2.13) |
(zx+jzy) |
= |
zx2+2jzxzy+j2zy2+cx+jcy |
(2.14) |
(zx+jzy) |
= |
zx2+2jzxzy-zy2+cx+jcy |
(2.15) |
Poslední rovnici můžeme rozepsat pro zx a zy:
zx |
= |
zx2-zy2+cx |
(2.16) |
zy |
= |
2zxzy+cy |
(2.17) |
Nyní si dokážeme, že pro |c|<=z a |z|>2 posloupnost diverguje.
|z|>2 |
|
|
(2.18) |
|z|>2 |
|
|
(2.19) |
|
|
|
(2.20) |
2|z|-|z| |
|
|
(2.21) |
2|z|-|c| |
|
|
(2.22) |
|
|
|
(2.23) |
|z2+c|>2|z|-c |
|
|
(2.24) |
|z2+c| |
|
|z| |
(2.25) |
Posloupnost tedy pro |c|<=z a |z|>2 skutečně diverguje. Toho
využijeme při testu, zda pro danou hodnotu c je posloupnost
konvergující nebo divergující. Stačí zjistit, zda je zn>2. Je-li tomu
tak, posloupnost diverguje k nekonečnu. Jestliže je zn<2, nelze
žádným způsobem předpovědět, zda bude posloupnost z divergovat či
konvergovat.
Pro |c|>2 posloupnost diverguje vždy. Mandelbrotova množina tedy leží
uvnitř kruhu o poloměru 2 se středem v počátku soustavy komplexních
čísel.
Je zajímavé sledovat, jak se vyvíjejí různé posloupnosti hodnoty z pro
různé startovní hodnoty c:
- Některé hodnoty c jsou malé a tak se posloupnost z blíží k nule.
Nula je tedy pro tyto hodnoty atraktorem.
- Pro velké hodnoty c posloupnost diverguje k nekonečnu. Nekonečno
je atraktorem pro tyto hodnoty.
- Pro některé hodnoty c se posloupnost z ustálí tak, že dochází
k cyklickému opakování určitých hodnot zn. Perioda těchto cyklů je od
dvou do nekonečna.
Na dalším obrázku jsou vykresleny některé orbity pro různé
počáteční hodnoty c. Orbit je vlastně stopa po prováděných iteracích.
Na obrázku můžeme vidět, že některé orbity začínají ve spirále směřovat
ke svému cyklickému atraktoru, zatímco jiné míří do nekonečna.
Figure:
Orbity v Mandelbrotově množině
|
Figure:
Detail z Mandelbrotovy množiny
|
Systém je citlivý na počáteční podmínky. Pro dvě limitně stejné hodnoty
c se mohou výsledné atraktory velmi lišit (nekonečno nebo nula).
Existují dokonce důkazy, že tento systém má největší možnou citlivost na
počáteční podmínky, jaká je pro systém s jednou proměnnou možná.
Pro hodnoty c, které leží uvnitř kruhu o poloměru 2, není možné přímo
zjistit, zda posloupnost bude divergovat či konvergovat. Z toho důvodu
je systém chaotický. Této vlastnosti se někdy využívá pro test rychlosti
počítačů, kde je při měření zadán úkol výpočtu Mandelbrotovy množiny.
Body z Mandelbrotovy množiny leží v ploše, topologická dimenze je tedy
rovna dvěma. Hausdorffova dimenze je taktéž rovna dvěma, protože
Mandelbrotova množina je omezena kruhem o poloměru 2. Z těchto vět by
vyplýval závěr, že Mandelbrotova množina není fraktál. To není pravda,
musíme se podívat na dimenze hranice Mandelbrotovy množiny.
Hranice Mandelbrotovy množiny nemá vnitřek (je nekonečně tenká), proto
je její topologická dimenze 1. Hausdorffova dimenze této hranice je 2
(toto tvrzení vyžaduje matematický důkaz, který je velmi složitý).
To znamená, že hranice Mandelbrotovy množiny je fraktálem. Tento fraktál
má dokonce maximální možný rozdíl mezi topologickou a Hausdorffovou
dimenzí, jaký je v ploše možný. Jde tedy o nejčlenitější útvar, jaký lze
v ploše o omezeném obsahu vytvořit.
Next: Juliovy množiny v komplexní
Up: Dynamické systémy s fraktální
Previous: Model populačního růstu
Tisnovsky Pavel
1999-05-30