Next: Juliovy množiny v hyperkomplexní
Up: Dynamické systémy s fraktální
Previous: Mandelbrotova množina
Juliovy množiny (anglicky Julia sets) jsou generovány
pomocí stejného výrazu jako Mandelbrotova množina:
Což lze rozepsat:
z |
= |
z2+c |
(2.27) |
z |
= |
zx+jzy |
(2.28) |
c |
= |
cx+jcy |
(2.29) |
(zx+jzy) |
= |
(zx+jzy)2+(cx+jcy) |
(2.30) |
(zx+jzy) |
= |
zx2+2jzxzy+j2zy2+cx+jcy |
(2.31) |
(zx+jzy) |
= |
zx2+2jzxzy-zy2+cx+jcy |
(2.32) |
Od Mandelbrotovy množiny se Juliovy množiny liší pouze počáteční
podmínkou. Zatímco u Mandelbrotovy množiny se začínalo se z0=0 a c
odpovídalo pozici vykreslovaného bodu v komplexní rovině, u Juliových
množin se z0 rovná pozici bodu v komplexní rovině a c je libovolně
zvolená konstanta.
Z toho také vyplývá, že zatímco Mandelbrotova množina je pouze jedna,
Juliových množin je nekonečné množství, stejně jako je nekonečné
množství startovacích hodnot c.
|
(2.33) |
Pro různé hodnoty c může Juliova množina mít tyto vlastnosti:
- pro
je Juliova množina spojitá a má vnitřek (interior).
- pro c ležící mimo Mandelbrotovu množinu se Juliova množina
rozpadne na takzvaný Fatouův prach (Fatou dust).
- pro c ležící na hranici Mandelbrotovy množiny jde o hraniční
případ, kdy je Juliova množina spojitá, ale nemá vnitřek.
Z těchto případů vyplývá značná citlivost na počáteční podmínky. Protože
je hranice Mandelbrotovy množiny nekonečně tenká, může se pro tři
hodnoty c ležící těsně vedle sebe Juliova množina rozpadnout na tři
diametrálně odlišné tvary.
Stejně jako Mandelbrotova množina, tak i hranice Juliových množin má
topologickou dimenzi rovnou jedné a Hausdorffovu dimenzi rovnou dvěma.
Jde tedy o fraktál.
Next: Juliovy množiny v hyperkomplexní
Up: Dynamické systémy s fraktální
Previous: Mandelbrotova množina
Tisnovsky Pavel
1999-05-30