Teorém pevného bodu

Teorém pevného bodu: Jestliže je f kontrakce s kontrakčním faktorem $\delta$ na A ležící v U, potom existuje právě jeden pevný bod x₀ ležící v A, přičemž

$$d[x_k,x_0]<\delta^k. d[x_0,x_0]$$ (3.7)

IFS je potom konečná množina kontrakcí definovaných na celém prostoru U, jedná se tedy o funkce mapující U na U (tedy na sebe samu). Vektor konečných bodů funkcí systému IFS se nazývá atraktor. Tato množina je pro systém F invariantní. Srovnáním rovnic pro IFS transformace a rovnic pro soběpodobnou množinu, dojdeme k závěru, že aplikací IFS vznikne soběpodobná množina. Z těchto rovnic dále vyplývá, že IFS tvoří fraktál. Určit Hausdorffovu dimenzi tohoto fraktálu lze jen při zadaných transformacích tvořících IFS. Obecně lze však říci, že pro rovinné transformace (tedy pro matice řádu 2) může mít IFS Hausdorffovu dimenzi od 0 (lze vytvořit i jednoduchý bod) do 2 (fraktál pokryje celou rovinu). Atraktor systému (jak dynamického, tak IFS) má tu vlastnost, že k sobě přitahuje iterativní postup, který určuje polohu bodu. Toto je ale logický důsledek kontrakce (jak bude dále řečeno, funkce či transformace tvořící IFS musí být kontrakcemi nebo alespoň identitami). Je-li v systému atraktor tvořen jediným bodem, libovolný bod při iteracích nezadržitelně konverguje k tomuto atraktoru. Je-li atraktor tvořen množinou více bodů, libovolný bod se při iteracích pohybuje pouze v mezích atraktoru. Pro IFS však platí, že počáteční bod nemusí ležet uvnitř atraktoru, po několika iteracích se do meze atraktoru dostane. Tato vlastnost podstatně odlišuje IFS od dynamických systémů, kde má volba počáteční podmínky velký význam pro další vývoj systému. Velmi pěknou ukázkou takzvané citlivosti na počáteční podmínky je systém dvou stejně hmotných hvězd, okolo kterých obíhá satelit. Hvězdy jsou v klidu (hypoteticky) a satelit se pohybuje střídavě okolo jedné a druhé. Jeho pohyb však závisí na počáteční poloze a při její nepatrné změně je závratně různý.