Nekonečně členité útvary

Z předchozí podkapitoly vyplývá závěr, že pro běžné útvary vystačíme s dimenzemi 0, 1, 2 nebo 3. Proto bylo poměrně velkým překvapením, když byly objeveny zvláštní geometrické útvary, pro které toto rozdělení na celočíselné dimenze není dostatečné. Některé tyto útvary nejsou jen abstraktní objekty vzniklé fantazií matematiků, ale mají své vzory přímo v přírodě. Klasický příklad takového útvaru je břeh nějaké řeky či potoka, nebo pobřeží nějakého reálného ostrova. Můžeme zkusit vypočítat délku pobřeží tohoto ostrova. Je-li linie pobřeží zobrazena na nějaké mapě (nebo leteckém snímku), má tato mapa určité měřítko, například 1: 1 000 000. Pomocí kružítka můžeme (krokováním) délku pobřeží přibližně zjistit a přepočítat na kilometry, protože známe měřítko mapy. Jestliže bude kružítko roztaženo tak, aby vzdálenost mezi jeho hroty byla jeden centimetr a měřítko mapy je 1 : 1 000 000, pak to znamená, že při jednom kroku kružítka se na mapě posuneme o 1 000 000 centimetrů, což po přepočtu dává deset kilometrů. Dostaneme-li však k dispozici přesnější mapu, která má měřítko například 1: 10 000 a budeme-li opět měřit délku toho samého úseku pobřeží, dostaneme délku odlišnou - větší. To znamená, že se změnou měřítka se změnila délka toho samého objektu - v našem případě pobřeží. Důvod se zdá být jasný - při zmenšení měřítka vidíme i detaily pobřeží, které nebyly na mapě s větším měřítkem viditelné. Samozřejmě, že při cestě pěšky okolo ostrova bude délka ještě větší, ovšem za předpokladu, že půjdeme přesně na hranici pobřeží a nebudeme si cestu zkracovat. Se zmenšujícím se měřítkem by délka dále rostla, a při délce měření blížící se limitně k nule, by délka rostla dokonce až do nekonečna. Z toho vyplývá zajímavý fakt, že ostrov o konečné ploše má nekonečnou délku pobřeží. Výše uvedený příklad není pouhou myšlenkovou abstrakcí, ale vyskytl se reálně při měření obvodu ostrova Korsiky. Čím byla větší přesnost tohoto měření, tím větší byla naměřená délka. Tato skutečnost nebyla dlouhou dobu známa, a proto se délky státních hranic lišily až o násobky očekávaných délek. V dnešní době se v moderních atlasech délka hranic většinou ani neuvádí. Obvod ostrova Korsiky měřil Richardson, který také jako první zjistil, že obvod ostrova je závislý na délce tyče, kterou se měří. Richardson také empiricky odvodil následující vztah:

$$K=N(\epsilon)\epsilon^D$$ (1.9)

kde K je délka celkového počtu $N(\epsilon)$ úseček nutných k aproximaci (pokrytí) dané křivky. Délka pobřeží se ukázala být závislá na konstantě D, jejíž význam si však Richardson nedokázal vysvětlit. Až Benoit B. Mandelbrot dokázal souvislost této konstanty a Hausdorffovy dimenze - viz dále. Také délka řek se musí měřit odlišným způsobem, než jaký byl běžně používán. Můžeme změřit délku řeky tak, že postupně změříme délku pravého a levého břehu a výslednou vzdálenost zprůměrujeme. Jak však již víme, v tomto případě by se při velmi přesném měření délka řek pohybovala v astronomických jednotkách a limitně by se blížila nekonečnu. Jak však intuitivně víme, délka řeky nemůže být nekonečná, protože jestliže na řece poplujeme konstantní rychlostí, určitě doplujeme na konec řeky v konečném čase. Je tedy nutné měřit například po pevně daných krocích, nebo přímo v toku řeky. Také plocha některých objektů v přírodě, které mají konečný objem, může být nekonečná (nebo až o několik řádů větší, než bychom zprvu očekávali). Například povrch planety je teoreticky nekonečný. Zdálky vypadá planeta jako dokonalá koule (či rotační elipsoid). Při určitém přiblížení rozeznáme vrcholky hor a velká údolí. Při dalším příblížení zjistíme, že každá hora je velmi členitá a její plocha je obdobně členitá jako povrch celé planety. Každý kámen potom vypadá jako celá hora, ale je mnohem menší. S touto změnou měřítka můžeme pokračovat dále až do subatomárních struktur. Obrovská je i plocha plic či lidského mozku při relativně malém objemu. Ve všech těchto případech jde o praktickou aplikaci fraktálů v přírodě, kde obecně platí princip úspornosti.