Výpočet pravděpodobnosti z koeficientu zkrácení úsečky

Tato metoda využívá pro výpočet pravděpodobnosti koeficient zkrácení úsečky. Pro zjednodušení výpočtů neuvažujeme libovolnou úsečku. Výpočet se provede pro úsečku, která vychází z bodu [0,0] do bodu [1,1]. V tomto případě lze vzorec pro výpočet pravděpodobnosti i-té transformace přímo odvodit. Zadané hodnoty:

x₀ = 0 (4.68)

y₀ = 0 (4.69)

x₁ = 1 (4.70)

y₁ = 1 (4.71)

Hodnoty vypočtené po aplikaci transformace:

x₀' = a₁₁x₀+a₁₂y₀+t_x (4.72)

y₀' = a₂₁x₀+a₂₂y₀+t_y (4.73)

x₁' = a₁₁x₁+a₁₂y₁+t_x (4.74)

y₁' = a₂₁x₁+a₂₂y₁+t_y (4.75)

Do těchto vztahů dosadíme hodnoty x₀,x₁,y₀ a y₁:

x₀' = a₁₁0+a₁₂0+t_x=t_x (4.76)

y₀' = a₂₁0+a₂₂0+t_y=t_y (4.77)

x₁' = a₁₁1+a₁₂1+t_x=a₁₁+a₁₂+t_x (4.78)

y₁' = a₂₁1+a₂₂1+t_y=a₂₁+a₂₂+t_y (4.79)

Délka netransformované úsečky je rovna:

$$\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}=$$ d = (4.80)

$$\sqrt{(1-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{2}$$ = (4.81)

Délka transformované úsečky se vypočítá pomocí transformovaných bodů:

$$\sqrt{(x_1'-x_0')^2+(y_1'-y_0')^2}=$$ d' = (4.82)

$$\sqrt{(a_{11}+a_{12}+t_x-t_x)^2+(a_{21}+a_{22}+t_y-t_y)^2}=$$ = (4.83)

$$\sqrt{(a_{11}+a_{12})^2+(a_{21}+a_{22})^2}=$$ = (4.84)

$$\sqrt{a_{11}^2+2a_{11}a_{12}+a_{12}^2+a_{21}^2+2a_{21}a_{22}+a_{22}^2}=$$ = (4.85)

$$\sqrt{a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2+2a_{11}a_{12}+2a_{21}a_{22}}$$ = (4.86)

Pravděpodobnost dané transformace se vypočte jako podíl těchto dvou délek:

$$\frac{d'}{d}$$ p_i = (4.87)

$$\frac{\sqrt{a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2+2a_{11}a_{12}+2a_{21}a_{22}}}{\sqrt{2}}$$ p_i = (4.88)

$$\sqrt{ \frac{a_{11}^2+a_{12}^2+a_{21}^2+a_{22}^2}{2}+a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}}$$ p_i = (4.89)

Tato metoda je jednoduchá pro výpočet, ale má některé nevýhody. První nevýhodou je, že úsečka je jednorozměrná. To znamená, že pravděpodobnost je přímo úměrná změně délce úsečky. Přesnější výsledky dávají metody, které pravděpodobnost počítají jako změnu obsahu nějakého útvaru. Rozdíl je tedy v lineárním či kvadratickém poměru. Například transformace, která provede zmenšení objektu na polovinu bude mít pravděpodobnost rovnu $\frac{1}{2}$. Budeme-li však pravděpodobnost počítat některou z předchozích metod, vyjde tato pravděpodobnost rovna $\frac{1}{4}$. Tato hodnota je přesnější, neboť základní objekt pokryjeme čtyřmi objekty, z nichž každý je zmenšený na polovinu. Druhou nevýhodou této metody je, že počítá zkrácení jen jedné pevně dané úsečky. To může způsobit chyby v případě, že daná transformace změní tvar tělesa v jiném směru, než jaký má tato úsečka. Pro ilustraci můžeme zadat transformaci, která nejprve otočí objekt o 45 stupňů doprava, potom provede horizontální změnu měřítka a následně objekt otočí o 45 stupňů doleva. Můžeme se přesvědčit, že zatímco tvar objektu se změní, délka úsečky zůstane konstantní. Bylo by tedy vhodnější, aby se spočítala změna délky různě orientovaných úseček. Problém nastává v případě, že chceme spočítat výslednou pravděpodobnost. Poměr zkrácení všech úseček by se měl zprůměrovat, přičemž se musí použít geometrický průměr, ne aritmetický. Pro co nejpřesnější výpočet můžeme jednu úsečku nahradit vektorem s pevně danou délkou, který se otáčí okolo středu. Při jedné otočce vektoru se tedy vypočítá obsah kružnice o poloměru rovném délce vektoru. Musí se tedy provést integrace, aby se zjistil obsah této kružnice:

$$obsah=\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{cos^2\phi+sin^2\phi}\ d\phi}$$ (4.90)

Poté se vypočte obsah objektu, který vznikne rotací vektoru po transformaci. Obecně musí vyjít elipsa:

$$obsah'=\int_{0}^{2\pi}{ \sqrt{(cos\phi*a_{11}+sin\phi*a_{12}+t_x)^2+(cos\phi*a_{21}+sin\phi*a_{22}+t_y)^2} \ d\phi}$$ (4.91)

Výsledná pravděpodobnost se potom opět vypočte z poměru těchto dvou ploch:

$$p_i=\frac{obsah'}{obsah}$$ (4.92)

Jak je z předchozích vztahů vidět, tento způsob výpočtu pravděpodobnosti je velmi komplikovaný a časově náročný. Přitom neodstraňuje základní nevýhodu této metody, tj. lineární závislost pravděpodobnosti na změně měřítka.