Název:

Moderní matematické metody v informatice

Zkratka:MID
Ak.rok:2019/2020
Semestr:letní
Vyučovací jazyk:čeština
Ukončení:zkouška
Výuka:
hod./sempřednáškasem./cvič.lab. cvič.poč. cvič.jiná
Rozsah:260000
 zkouškatestycvičenílaboratořeostatní
Body:1000000
Garant:Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc. (UM OADM)
Přednášející:Šlapal Josef, prof. RNDr., CSc. (UM OADM)
Fakulta:Fakulta strojního inženýrství VUT
Pracoviště:Ústav matematiky - odbor algebry a diskrétní matematiky FSI VUT
Prerekvizity: 
Diskrétní matematika (IDA), UMAT
Matematické struktury v informatice (MAT), UM OADM
 
Cíle předmětu:
  Cílem předmětu je seznámit studenty s moderními matematickými metodami využívanými v informatice. Jedná se především o metody založené na teorii uspořádaných množin a svazů, algebře a topologii.
Anotace:
  Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny, kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru. Částečně a dobře uspořádané množiny, izotonní zobrazení, ordinály. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta. Svazy a svazové homomorfismy. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. Uzávěrové a topologické prostory a jejich využití v informatice (Scottova, Lawsonova a Khalimského topologie).
 
Okruhy otázek k SDZ:
  1. Uspořádané množiny (posety) a monotónní zobrazení.
  2. Axiom výběru a věty s ním ekvivalentní.
  3. Dualita posetů, dolní množiny a dolní zobrazení, podmínky řetězců.
  4. Symetrický a tranzitivní obal relace, linearizace uspořádání.
  5. Dobře uspořádaní množiny, ordinální a kardinální čísla, transfinitní indukce.
  6. Polosvazy, svazy a úplné svazy.
  7. Průsekové struktury a uzávěrové operátory.
  8. Spojově a průsekově ireducibilní prvky svazu, podmínky řetězců a úplnost svazů.
  9. Ideály a filtry, Dedekind-MacNailleovo zúplnění.
  10. Modulární a distributivní svazy, Booleovy algebry.

 
 

 

Požadované prerekvizitní znalosti a dovednosti:
  Základní znalosti teorie množin, matematické logiky a obecné algebry.
Získané dovednosti, znalosti a kompetence z předmětu:
  Studenti získají znalosti o moderních matematických metodách využívaných v informatice a budou tak moci tyto medody aplikovat při práci ve svojí vědecké specializaci. 
Dovednosti, znalosti a kompetence obecné:
  Absolventi budou schopni při své vědecké činnosti v informatice využívat moderních a efektivních matematických metod.
Osnova přednášek:
 
  1. Naivní a axiomatická (Zermelo-Fraenkelova) teorie množin, konečné a spočetné množiny.
  2. Kardinální aritmetika, hypotéza kontinua a axiom výběru.
  3. Částečně a dobře uspořádané množiny, monotonní zobrazení, ordinály.
  4. Variety univerzálních algeber, Birkhoffova věta.
  5. Svazy a svazové homomorfismy.
  6. Adjunkce, věty o pevných bodech a jejich aplikace 
  7. Částečně uspořádané množiny se supremy usměrněných množin (DCPO) a jejich využití v informatice 
  8. Scottovy informační systémy a domény, kategorie domén. 
  9. Uzávěrové operátory, jejich základní vlastnosti a aplikace v logice. 
  10. Základy topologie: topologické prostory a spojitá zobrazení, oddělovací axiomy. 
  11. Souvislost a kompaktnost v topologických prostorech. 
  12. Speciální topologie v informatice: Scottova a Lawsonova topologie. 
  13. Digitální topologie, Khalimského topologie.  
Literatura referenční:
 
  • G. Grätzer, Universal Algebra, Springer, 2008
  • B.A. Davey, H.A. Pristley, Introduction to Lattices ad Order, Cambridge University Press, 1990
  • P.T. Johnstone, Stone Spaces, Cambridge University Press, 1982
  • S. Willard, General Topology, Dover Publications, Inc., 1970
  • N.M. Martin and S. Pollard, Closure Spaces and Logic, Kluwer, 1996
  • T. Y. Kong, Digital topology; in L. S. Davis (ed.), Foundations of Image Understanding, pp. 73-93. Kluwer, 2001
  • S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008.     
Literatura studijní:
 
  • G. Grätzer, Lattice Theory, Birkhäuser, 2003
  • K.Denecke and S.L.Wismath, Universal Algebra and Applications in Theoretical Computer Science, Chapman & Hall, 2002
  • S. Roman, Lattices and Ordered Sets, Springer, 2008 
  • J.L. Kelley, general Topology, Van Nostrand, 1955.
Průběžná kontrola studia:
  Testy během semestru
 

Vaše IPv4 adresa: 34.229.126.29