Lineární algebra a geometrie - Základní pojmy a definice

I.   MATICE

   Lineárně nezávislý systém (LNZ)
Definice: Buďte a₁, a₂, ... a_n patřící do Rⁿ n-rozměrné vektory, řekneme, že tvoří lineárně nezávislý systém (LNZ) nebo-li zkráceně, že jsou lineárně nezávislé, jestliže neexistují reálné konstanty ß₁, ß₂, ... ß_n patřící do R s výjimkou ß₁=ß₂=ß_n=0 tak, že ß₁a₁+ß₂a₂+ ... +ß_na_n=0.

   Hodnost matice
Definice: Buď A matice typu m×n. Řádkovou hodností matice A nazveme takové číslo h(A), které uvádí maximální počet prvků lineárně nezávislého systému tvořeného řádky matice A.
Poznámka: Řádková hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu nenulových řádků.
Poznámka 2: Řádková i sloupcová hodnost matice si jsou rovny.

   Lineární kombinace
Definice: Nechť a₁, a₂, ... a_m patřící do Rⁿ n-rozměrné (řádkové) vektory, ß₁, ß₂, ... ß_m patřící do R jsou konstanty. Výrazu ß₁a₁+ß₂a₂+ ... +ß_ma_m se říká lineární kombinace vektorů a₁, a₂, ... a_m.

   Matice regulární
Definice: Řekneme, že čtvercová matice A typu n×n je regulární, jestliže h(A)=n.

   Matice invertibilní
Definice: Buď A, B matice řádu n (typu n×n). Říkáme, že A,B jsou navzájem inverzní, jestliže A.B=B.A=I_n (kde I_n je jednotková matice řádu n). Píšeme A=B^-1, B=A^-1. Matice, která má inverzní matici se říká invertibilní.

II. DETERMINANTY

   Permutace
Definice: Nechť S={1, 2, ... n}. Libovolná n-tice (i₁, i₂, ... i_n) tvořená čísli i_k patřící do S, v níž se žádná dvě čísla neopakují (každé číslo se vyskytuje právě jednou) se nazývá permutace množiny S.
Je-li SIGMA=(i₁, i₂, ... i_n) permutace množiny S, říkáme, že SIGMA má inverzi (i_r,i_s), jestliže r<s a i_r>i_s.
Počet inverzí permutace SIGMA=(i₁, i₂, ... i_n) se nazývá paritou permutace SIGMA a značí se: pi(SIGMA).
Permutace se nazývá sudá resp. lichá je-li sudá resp. lichá její parita.
Poznámka1: Na n-prvkové množině pro n>=2 je n!/2 sudých a n!/2 lichých permutací.
Poznámka2: Vzájemnou výměnnou 2 prvků v permutaci se změní její parita o +1.
Příklad:

   Determinant
Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Determinantem matice A nazýváme číslo:
det A = |A| = Suma[(-1)^{pi(i₁, i₂, ... i_n)}.a_1i1.a_2i2.....a_nin] , kde se sčítá přes všechny (i₁, i₂, ... i_n) množiny {1, 2, ... n}.
Poznámka1: Nechť A je čtvercová matice řádu 2, pak det A = a₁₁.a₂₂ - a₁₂.a₂₁.
Poznámka2: Nechť A je čtvercová matice řádu 3, pak det A = a₁₁.a₂₂.a₃₃ + a₁₂.a₂₃.a₃₁ + a₁₃.a₂₁.a₃₂ - a₁₂.a₂₁.a₃₃ - a₁₁.a₂₃.a₃₂ - a₁₃.a₂₂.a₃₁.
Poznámka3: Pro čtvercovou matici řádu 4 a výš ŽÁDNÉ PODOBNÉ PRAVIDLO NEEXISTUJE.

   Vlastnosti determinantů
Věta 2.1: Nechť A, B jsou čtvercové matice řádu n.
   a) det A = det A^T
   b) Nechť B vznikne z A výměnou dvou řádků. Pak detB = - detA
   c) Nechť B vznikne z A násobením jednoho řádku konstantou c patřící do R, pak detB = c.detA
   d) Nechť B vznikne z A přičtením násobku r-tého řádku k s-tému řádku pro r různé od s (r<>s), pak detB=detA.
Poznámka1: Analogická tvrzení platí i pro sloupcové úpravy.
Poznámka2: Je-li A horní (resp. dolní) trojúhelníkovitá matice, pak detA = a₁₁.a₂₂.....a_nn (Součin prvků na diagonále).
Důsledek: Determinanty lze počítat Gaussovou eliminací (úpravou na schodovitý tvar a vypočtení součinu prvků na diagonále).

Věta 2.2: Matice A řádu n je regulární, právě když je determinant různý od nuly (det A <> 0).
Věta 2.3: Pro čtvercové matice A, B řádu n platí det(A.B) = detA . detB.

   Algebraický doplněk
Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Buď M_ij podmatice matice A typu (n-1)×(n-1) vzniklá z A odstraněním i-tého řádku a j-tého sloupce. Determinant det(M_ij) se nazývá minorem prvku a_ij v matici A. Číslo A_ij = (-1)^i+j.det(M_ij) se nazývá kofaktor neboli algebraický doplněk prvku a_ij v matici A.
Věta 2.4: Pro matici A typu n×n platí:
   (1) detA = a_i1.A_i1 + a_i2.A_i2 + ... + a_in.A_in
   (2) detA = a_1j.A_1j + a_2j.A_2j + ... + a_nj.A_nj
   Rovnost (1) se nazývá Laplaceovým rozvojem detA podle i-tého řádku.
   Rovnost (2) se nazývá Laplaceovým rozvojem detA podle j-tého sloupce.

   Adjungovaná matice
Definice: Buď A matice typu n×n, A = (a_ij). Adjungovanou maticí matice A nazýváme matici adj A = (A_ji). (Vlastně: Ke každému prvku a_ij vypočítáme algebraický doplněk A_ij a výslednou matici doplňků transponujeme a tak dostaneme adjungovanou matici matice A.)
Věta 2.5: Pro matici A typu n×n platí:  A.(adj A) = (det A).I_n.
Důsledek: Je-li A regulární (právě když detA<>0), je A^-1 = (adj A)/(det A).
Věta 2.6: (Cramerovo pravidlo)  Nechť  AX = B   je soustava lineárních rovnic a A=(a_ij) je regulární matice řádu n. B je sloupcový vektor (b₁, b₂, ... b_n). Pak pro j = 1, 2, 3, ... n platí: x_j = (det A_j)/(det A) , kde A_j je matice, která vznikne nahrazením j-tého sloupce matice A sloupcem B. (Pozn.:Použitelné u malých rozměrů matic.)

III. VEKTOROVÉ PROSTORY

   Grupa
Definice: Buď G množina, # operace na G, splňující podmínky:
   1) Pro a, b patřící do G je a # b také v G (tzv. Operace je uzavřená.)
   2) Pro a, b, c patřící do G je  (a # b) # c = a # (b # c) (Asociativní zákon)
   3) Existuje e patřící do G, že pro každé a z G platí   e # a = a # e = a (e je tzv. neutrální prvek.)
   4) Pro každé a z G, existuje b z G tak, že  a # b = b # a = e (a,b jsou navzájem inverzní.)
   Pak se (G, #) nazývá GRUPA a G je její nosná množina, # (grupná) operace.
   Grupa (G, #) se nazývá komutativní neboli abelovská, jestliže navíc platí:
   5) Pro a, b patřící do G je a # b = b # a.
Příklady grup: (R, +), (R - {0}, .), (Z, +), (Mat_n, +), (RegMat, .),({e}, °) ... tzv. triviální grupa.

Poznámka k textu: V původním textu jsou odlišeny dva druhy operací: a) vektorové (např. plus v kolečku nebo tečka v kolečku) a b) skalární operace na R (normálně + a .). My budeme vektorové operace podtrhávat, takže + a . jsou vektorové operace na dané grupě a +, . jsou normální skalarní operace na R.

   Vektorový prostor
Definice: Buď (V, +) abelovská grupa a nechť ke každému alfa patřící do R a u patřící do V existuje prvek a.u patří do V tak, že pro všechna alfa, ß patřící do R   a u,v patří do V platí:
   6) alfa . (u + v) = (alfa . u) + (alfa . v)   (analogie distributivního zákona)
   7) (alfa + ß) . u = (alfa . u) + (ß . u)   (Pokud uvažujeme, že . má přednost před + lze vynechat závorky)
   8) alfa . (ß . u) = (alfa . ß) . u
   9) 1 . u = u   (kvůli měřítku R a V) (Vlastně: alfa,ß...skaláry; u,v...vektory)
   Pak (V, +, .) se nazývá VEKTOROVÝ PROSTOR nad tělesem R. Neutrální prvek grupy (V, +) se značí o nebo 0 s vektorem (s šipečkou nad nulou) a nazývá se nulovým vektorem.
Poznámka: Nahradíme-li množinu R množinou C, dostaneme vektorový prostor nad tělesem komplexních čísel C.
Příklady vektorových prostorů: (R, +, .), (C, +, .), (Rⁿ, +, .), (Cⁿ, +, .), (Mat_n, +, .), (P_n(x), +, .), (C_<0,1>, +, .)
Věta 3.1: Je-li (V, +, .) vektorový prostor, pak:
   a) 0 . u = o   pro každý vektor u patřící do V (poznámka k textu: 0....nula, o....nulový vektor)
   b) alfa . o = o   pro každý skalár alfa patřící do R
   c) Jestliže  alfa . u = o  pak buď   alfa = 0  nebo  u = o.
   d) (-1) . u = -u   pro každé vektor u patřící do V

   Vektorový podprostor
Definice: Nechť V je vektorový prostor s operacemi +, . a W je podmnožina V. Jestliže (W, +, .) je vektorový prostor (tj. splňuje axiomy 1) až 9) ), nazývá se vektorovým podprostorem prostoru V.
Příklad1: Je-li (V, +, .) vektorový prostor, pak ({o}, +, .) je tzv. triviální vektorový podprostor prostoru (V, +, .). Operace + a . zde fungují takto:  o + o = o,    alfa . o = o   pro libovolné alfa patřící do R.
Příklad2: Dále (V, +, .) je sám svým vektorovým podprostorem.
Věta 3.2: ...
Věta 3.3: ...

Poznámka k textu: V původním textu bylo nutné odlišit dva druhy vektorů:
   a) řádkové  např. e = (e1, e2, ... en) = e ... řádkový vektor se podtrhává.
   b) sloupcové např.
            (x₁)
          x=(x₂)= x nadtrženo ... my musíme odlišovat sloupcový vektor x přešktnutím.
            (x_n)

   Dimenze vektorového prostoru a báze
Definice: Nechť V je vektorový prostor, vektory v₁, v₂, ... v_k patřící do V se nazývají lineárně nezávislé, jestliže pro každé alfa₁, alfa₂, ... alfa_k patřící do R platí: alfa₁.v₁ + alfa₂.v₂ + ...+ alfa_k.v_k = o  => alfa₁=alfa₂=...=alfa_k=0.
Definice: Maximální lineárně nezávislý systém vektorů ve vektorovém prostoru V se nazývá BÁZE. Počet prvků báze se nazývá DIMENZE prostoru V a značí se dim V.
Poznámka: Nechť S je podmnožina nebo rovna V a nechť každý vektor v patřící do V lze vyjádřit ve tvaru v=alfa₁.v₁ + alfa₂.v₂ + ...+ alfa_n.v_n , kde v₁, v₂, ... v_n patří do S. Pak S nazýváme systém generátorů prostoru V. Píšeme: V = <S>. Je zřejmé, že každá báze prostoru V je systém generátorů, ale obecně NIKOLIV obráceně.
Věta 3.4: Libovolný vektor lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci báze (v konečně rozměrném vektorovém prostoru).
Poznámka1: Je-li x = x₁.e₁ + x₂.e₂ + ...+ x_n.e_n , píšeme maticově  x = (e₁,e₂,...e_n).(sloupcově(x₁,...x_n)) = e . x. Čísla x₁,...x_n se nazývají souřadnice vektoru (sloupcového) x v bázi e.
Poznámka2: Jsou-li e = (e₁,e₂,...e_n), f = (f₁,f₂,...f_n) dvě báze ve vektorovém prostoru V, pak lze prvky f vyjádřit pomocí e takto:
   f₁=t₁₁e₁+t₂₁e₂+...+t_n1e_n
   f₂=t₁₂e₁+t₂₂e₂+...+t_n2e_n     =>  f = (f₁,f₂,...f_n) = (e₁,e₂,...e_n).(čtevrcová matice t11 až tnn) = e . T
   ...
   f_n=t_1ne₁+t_2ne₂+...+t_nne_n
, kde T je čtercová matice (t₁₁, t₁₂, ...t_1n; t₂₁, t₂₂, ...t_2n; ...; t_n1, t_n2, ...t_nn)   (kde středník odděluje jednotlivé řádky matice).
Pak pro vektor x patřící do V platí (x je např. polynom):  x = e.x = f.x' = e.T.x'
Máme tedy dvojí vyjádření vektoru x v bázi e:  x = e.x      a     x = e.T.x
Z věty 3.4 plyne  x = T.x', nebo naopak x' = T^-1.x
Matici T se říká matice přechodu od báze e k bázi f.
Transformační vztahy:   x = e . x = f . x'
   báze se transformuje takto:   f = e . T,   e = f . T^-1.
   souřadnice se transformují takto:   x' = T^-1.x,    x = T.x'

   Vektorové prostory se skalárním součinem
Definice: Buď V vektorový prostor nad R (resp. nad C). Pak skalárním (resp. unitárním) součinem na V nazýváme funkci   (. , .) : V × V --> R
   a) (u, u) > 0 pro u patřící do V, u <> o   (<> znamená nerovnost)
   b) (u, v) = (v, u), resp. (u, v) = (v, u)* nad C pro libobolné u,v patřící do V
   c) (u+v, w) = (u, w) + (v, w) pro každé u,v,w patřící do V
   d) (alfa . u, v) = alfa . (u, v)  pro libovolné u,v patřící do V a skalár alfa patřící do R (resp. C)
Příklad 1: V = R³, (u, v) = u₁v₁+u₂v₂+u₃v₃    je tzv. standardní skalární součin v R³.
Příklad 2: V = C_<0,1>, (u, v) = určitý integrál<meze od 0 do 1> z [u(x).v(x).dx] je skalární součin na C_<0,1>.
Definice:

.....

IV. PROBLÉM VLASTNÍCH HODNOT

Nechť A je matice řádu n. Hledáme vektor x patřící do Rⁿ, aby A.x=lambda.x, kde lambda je vhodné reálné nebo komplexní číslo. Pak: (Poznámka: I_n je jednotková matice řádu n, x je vektor x, 0 je nulový vektor)
   lambda.x - A.x = 0
  lambda.I_n.x - A.x = 0
   (lambda.I_n - A).x = 0      Zajímají nás nenulové vektory, pro které tato rovnice platí.
Vzniká homogenní soustava rovnic vzhledem k x. Ta má netriviální řešení právě když det(lambda.I_n - A)=0 (aby matice byla singulární). Výraz det(lambda.I_n - A) se nazývá charakteristický polynom matice A s jeho kořeny lambda₁, lambda₂, ...lambda_n tzv. charakteristické resp. vlastní hodnoty matice A. Řešení x se nazývá vlastní vektor matice A, příslušný vlastní hodnotě lambda_i.
Množina vlastních vektorů, příslušná dané vlastní hodnotě lambda_i, tvoří vektorový podprostor v Rⁿ, tzv. vlastní podprostor, příslušný hodnotě lambda_i.
Definice: Buďte A,B čtvercové matice řádu n. Řekneme, že A,B jsou podobné matice, existuje-li regulární matice řádu n, řekneme P, taková že B = P^-1.A.P (i naopak A = P.B.P^-1).
Věta 4.1: Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty.
Věta 4.2: Vlastní vektory symetrické matice, příslušné různým vlastním hodnotám jsou ortogonální (vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu).
Věta 4.3: Reálná symetrická matice řádu n má právě n reálných vlastních hodnot (včetně násobností).
Věta 4.4: Nechť A je symetrická reálná matice řádu n. Pak v Rⁿ existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory matice A.
Důsledek věty 4.4: Každou symetrickou matici A lze převést ortogonální podobnostní transformací na diagonální tvar. (Matice obsahující na diagonále lambda₁, lambda₂, ...lambda_n se nazývá kanonický Jordanův tvar symetrické matice A.
Definice: Jordanovým blokem řádu k příslušným hodnotě lambda rozumíme čtvercovou matici řádu k:
   J_k(lambda) = (lambda,1,0,0,...,0; 0,lambda,1,0,...,0; ...; 0,...,0,lambda,1; 0,...,0,0,lambda).
   Jordanovou maticí nazýváme libovolnou matici J, která má v diagonále Jordanovy bloky a jinde samé nuly. Například tohle je Jordanova matice se 3 bloky (vyznačeny různou barvou):
(2 1 0 0 0 0)
(0 2 1 0 0 0)
(0 0 2 0 0 0)
(0 0 0 3 1 0)
(0 0 0 0 3 0)
(0 0 0 0 0 2)
Věta 4.5: Každá čtvercová matice A je podobná nějaké Jordanově matici, která je určena jednoznačně až na pořadí bloků. Tato matice se nazývá Jordanův kanonický tvar matice A. Matice, které mají stejné Jordanovy bloky ve svém kanonickém tvaru (ale mohou se lišit pořadím) jsou podobné.

Zdroj informací: Přednášky na VUT FEI z Lineární algebry a geometrie pro 1.ročním zimní semestr pana profesora Kovára.

 Hot Tip: Podívejte se na stránky humorného školního časopisu PRD (Pravidelný Redakční Drb):
 

Pokud chcete sledovat tyto stránky (kdy budou změněny, tak se zaregistrujte sem: