Úsečka

Nejjednodušším příkladem bude zřejmě úsečka. Vytvoříme úsečku, která má jednotkovou délku. Nyní tuto úsečku rozdělíme na N dílů. To odpovídá tomu, jako bychom se na úsečku podívali s N-násobným zvětšením. Měřítko nové úsečky se tedy vypočítá takto:

$$s=\frac{1}{N}$$ (1.10)

kde s je měřítko a N je počet dílů, na které se těleso rozdělí. Pro Hausdorffovu dimenzi obecně platí následující podmínka:

N*s^D=1 (1.11)

Z toho vyplývá, že Hausdorffova dimenze se pro dané dělení N a dané měřítko s vypočítá jako pomocí následujících vzorců:

N*s^D = 1 (1.12)

log N*s^D = log 1 (1.13)

$$log N+log\ s^D$$ = 0 (1.14)

$$log N+D*log\ s$$ = 0 (1.15)

$$D*log\ s$$ = -log N (1.16)

$$\frac{-log N}{log\ s}$$ D = (1.17)

$$\frac{log N}{log \frac{1}{s}}$$ D = (1.18)

Po dosazení do vzorce:

$$D=\frac{log N}{log \frac{1}{s}}=\frac{log N}{log N}=1$$ (1.19)

 

Figure: Rozdělení úsečky se změnou měřítka

Topologickou dimenzi úsečky známe, je rovna jedné. Hausdorffovu dimenzi jsme nyní vypočítali a je také rovna jedné. Hausdorffova dimenze se tedy rovná dimenzi topologické. Z definice fraktálu jasně vyplývá, že úsečka není fraktál (pro fraktál musí být Hausdorffova dimenze ostře větší než dimenze topologická).