Čtverec

Dalším typickým tvarem, jehož Hausdorffovu dimenzi budeme zkoumat, je čtverec. Zkonstruujeme čtverec, jehož hrany budou mít jednotkovou délku. Tento čtverec má plochu taktéž jednotkovou. Po dvojnásobném zjemnění čtverec vypadá tak, jako by měl čtyřnásobnou plochu. Měřítko se tedy musí změnit podle tohoto vztahu:

$$s=\frac{1}{\sqrt{N}}$$ (1.20)

Hausdorffova dimenze čtverce se vypočítá:

$$D=\frac{log N}{log\frac{1}{s}}=\frac{logN}{log\sqrt{N}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$$ (1.21)

 

Figure: Rozdělení čtverce se změnou měřítka

Topologická dimenze čtverce je rovna dvěma, neboť se jedná o plošný útvar. Hausdorffova dimenze čtverce je taktéž rovna dvěma, proto čtverec opět není, za použití předchozí definice, fraktálem.