Křivka Kochové

Nyní zkusíme vypočítat Hausdorffovu dimenzi útvaru, jehož zjemnění o jeden krok spočívá v tom, že se každá úsečka předchozího útvaru nahradí dvěma úsečkami se třetinovou délkou a rovnostranným trojúhelníkem sestrojeným uprostřed mezi dvěma novými úsečkami (viz následující obrázky). Tento objekt se nazývá vločka či křivka Kochové.

 

Figure: První iterace křivky Kochové

 

Figure: Druhá iterace křivky Kochové

 

Figure: Třetí iterace křivky Kochové

 

Figure: Čtvrtá iterace křivky Kochové

 

Figure: Pátá iterace křivky Kochové

Při trojnásobném zjemnění se délka zvětší čtyřikrát, proto Hausdorffova dimenze není celé číslo: Pro N=4 se tedy měřítko musí zmenšit na třetinu:

$$s=\frac{1}{3}$$ (1.24)

N=4 (1.25)

Hausdorffova dimenze se tedy vypočítá jako:

$$D=\frac{log N}{log\frac{1}{s}}=\frac{4}{3}=1,2618595$$ (1.26)

Topologická dimenze této křivky je rovna jedné, Hausdorffova dimenze je větší než jedna. Z toho vyplývá, že křivka Kochové je fraktál. Křivka Kochové má i další zajímavé vlastnosti. Mezi ně patří to, že sice je v celém svém rozsahu spojitá, ale v žádném bodě nemá derivaci. Každý bod na křivce je totiž po nekonečně mnoha transformacích průnikem dvou nekonečně malých úseček, které tvoří strany trojúhelníka, který je taktéž nekonečně malý. Křivka Kochové je také nekonečně dlouhá, i když zabírá konečný prostor, jak je vidět z obrázku. Typickou vlastností fraktálů je, že se na ně nedají aplikovat běžné matematické poučky a vzorce. Na druhou stranu se některé výpočty mohou zjednodušit, například výpočty určitých vlastností dynamických systémů.