Hyperkomplexní algebra

Pro hyperkomplexní algebru je splněn komutativní zákon ab=ba, ale pro všechny prvky nemusí existovat inverzní prvek:

$$\forall h\in H \Leftarrow \frac{1}{h}\in H$$ (2.34)

Základní pravidla pro počítání v hyperkomplexní algebře:

ij = k (2.35)

jk = -i (2.36)

ki = -j (2.37)

ji = k (2.38)

kj = -i (2.39)

ik = -j (2.40)

ii = jj=-kk=-1 (2.41)

ijk = 1 (2.42)

potom pro h₁=1x₁+iy₁+jz₁+kw₁ a pro h₂=1x₂+iy₂+jz₂+kw₂ je:

h1*h2 = 1(x₁x₂-y₁y₂-z₁z₂+w₁w₂)+ (2.43)

+ i(y₁x₂+x₁y₂-w₁z₂-z₁w₂)+ (2.44)

+ j(z₁x₂-w₁y₂+x₁z₂-y₁w₂)+ (2.45)

+ k(w₁x₂+z₁y₂+y₁z₂+x₁w₂) (2.46)

a pro h=1x+iy+jz+kw je:

h² = (1x+iy+jz+kw)²= (2.47)

= x²+ixy+jxz+kxw+ixy+i²y²+ (2.48)

+ ijyz+ikyw+jxz+ijyz+j²z²+ (2.49)

+ jkzw+kxw+ikyw+jkwz+k²w²= (2.50)

= 1(x²-y²-z²+w²)+ (2.51)

+ i(2xy-2zw)+ (2.52)

+ j(2xz-2yw)+ (2.53)

+ k(2xw+2yz) (2.54)

Pomocí těchto vzorců lze vygenerovat Juliovu množinu ve čtyřrozměrném prostoru. Pro zobrazení na obrazovce je nutné nejprve provést transformaci do třírozměrného prostoru (vyříznutí části 4D prostoru 3D prostorem). Po této transformaci lze provádět ve třírozměrném prostoru běžné transformace pro zobrazení třírozměrného tělesa na plochu (rotace, posun, perspektiva). Juliova množina ve 4D prostoru má topologickou dimenzi rovnu třem a Hausdorffovu dimenzi rovnu čtyřem, jde tedy o fraktál. Po transformaci do 2D prostoru má hranice Juliovy množiny Hausdorffovu dimenzi rovnu dvěma, z čehož plyne, že jde také o fraktál. Při transformaci do 3D prostoru má hranice Juliovy množiny (jde tady o plochu) Hausdorffovu dimenzi rovnu třem, jde tedy opět o fraktál.