Quaternion algebra

 

Figure: 3D řez čtyřrozměrnou Juliovou množinou

Pro quaternion algebru není splněn komutativní zákon $ab \ne ab$, ale pro každý prvek existuje inverzní prvek:

$$\forall q \in Q \Leftrightarrow \frac{1}{q} \in Q$$ (2.55)

Základní pravidla pro počítání v quaternion algebře:

ij = k (2.56)

jk = i (2.57)

ki = j (2.58)

ji = -k (2.59)

kj = -i (2.60)

ik = -j (2.61)

ii = jj=kk=-1 (2.62)

ijk = -1 (2.63)

pro q₁=1x₁+iy₁+jz₁+kw₁ a q₂=1x₂+iy₂+jz₂+kw₂ platí:

q1q2 = 1(x₁x₂-y₁y₂-z₁z₂-w₁w₂)+ (2.64)

+ i(y₁x₂+x₁y₂+w₁z₂-z₁w₂)+ (2.65)

+ j(z₁x₂-w₁y₂+x₁z₂+y₁w₂)+ (2.66)

+ k(w₁x₂+z₁y₂-y₁z₂+x₁w₂) (2.67)

Potom pro q=(1x+iy+jz+kw):

q² = (x+iy+jz+kw)²= (2.68)

= x²+ixy+jxz+kxw+ixy+i²y²+ (2.69)

+ ijyz+ikyw+jxz+ijyz+j²z²+ (2.70)

+ jkzw+kxw+ikyw+jkwz+k²w²= (2.71)

= 1(x²-y²-z²-w²)+ (2.72)

+ 2ixy+2jxz+2kxw (2.73)

Juliova množina se v quaternion algebře vytvoří stejně jako v hyperkomplexní algebře. Výsledný tvar je samozřejmě odlišný, ale pro topologickou a Hausdorffovu dimenzi platí stejné zákonitosti jako v hyperkomplexní algebře.