Next: Typy fraktálů
Up: Hausdorffova dimenze a soběpodobnost
Previous: Závěr
Dalším pojmem, o kterém se musíme při popisování fraktálů zmínit, je
soběpodobnost. Soběpodobnost (matematicky se tato vlastnost
nazývá invariance vůči změně měřítka) je taková vlastnost
objektu, že objekt vypadá podobně, ať se na něj díváme v jakémkoliv
zvětšení.
Soběpodobnost je hlavním znakem fraktálních útvarů a většinou je také
považována za jejich definici. To nám také pomáhá při vyhledávání
fraktálních útvarů v přírodě. Soběpodobný je například kámen, hory,
mraky, stromy, rostliny ale i krátery atd., tedy objekty živé i neživé
přírody.
Matematicky je soběpodobná množina definována takto: Soběpodobná množina
A n-dimenzionálního Euklidovského prostoru En je taková množina,
pro níž existuje konečně mnoho kontrahujících zobrazení
takových, že A vznikne jako:
|
(1.27) |
Takto definovaná množina má několik velmi zajímavých vlastností:
- Soběpodobná množina vzniká opakováním sebe sama při určité
transformaci (změna měřítka, rotace, posunutí, zkosení).
- Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka. Při
libovolném zvětšení, či zmenšení vypadají podobně.
- Soběpodobná množina vzniká sama ze sebe, respektive vzniká
opakováním téhož motivu.
Princip opakování podobných tvarů ve zmenšené podobě je vidět prakticky
u jakékoliv komplexní, složité struktury, která je vytvářena i pomocí
velmi jednoduchých pravidel. Způsob, jakým probíhá větvení stromů či cév
a žil v tělech živočichů, nebo hromadění baktérií a řas v koloniích, se
dá matematicky uspokojivě popsat pouze fraktální geometrií.
Fraktály však slouží i k modelování a pochopení složitých dějů, které se
odehrávají v čase, jedná se tedy o jevy dynamické.
Při používání pojmu soběpodobnosti si musíme uvědomit, že se jedná o
podobnost objektu při změně měřítka. Existuje mnoho geometrických
útvarů, které jsou podobné (nebo shodné) při aplikaci jiné transformace.
Například čtverec je invariantní vůči středovému zrcadlení, kruh je
invariantní vůči stranovému zrcadlení a přímka je invariantní vůči
posunu ve směru jejího vektoru. Tato invariance, pokud není doprovázena
invariancí vůči změně měřítka, v žádném případě nedefinuje fraktál.
Next: Typy fraktálů
Up: Hausdorffova dimenze a soběpodobnost
Previous: Závěr
Tisnovsky Pavel
1999-05-30