Funkce populačního růstu

Při studiu populačního růstu se došlo k závěru, že populační růst v určitém časovém období (například roce) závisí na populačním růstu v předchozím časovém období (relativně k celkové části populace). Populační růst klesá, jakmile celková část populace dosáhne určité hodnoty X. Tento proces je nelineární a protože jde o stav vyvíjející se v čase, jde i o proces dynamický. Pro tento systém se používá název Verhulstův proces. Pro hodnotu růstu, který je menší než 200 procent, se po určité době stav populace ustálí na hodnotě X a nenastávají žádné odchylky. Hodnota X je tedy pro tuto hodnotu růstu atraktorem. Jestliže hodnota růstu dosahuje 200 procent, hodnoty X se nikdy nedosáhne. Systém osciluje mezi hodnotou, která je menší než X a hodnotou, která je větší než X. Existují tedy dvě velikosti populace, které se každý rok vyměňují. Tyto dvě hodnoty jsou atraktorem, který je periodický. Jestliže hodnota růstu dosáhne 245 procent, nastává oscilace mezi čtyřmi stavy. Hodnoty X se samozřejmě nikdy nedosáhne, tyto čtyři stavy jsou tedy atraktorem. Pro hodnoty větší než 245 procent nastává postupně oscilace mezi osmi, šestnácti, dvaatřiceti ... stavy. Zajímavý efekt nastane, je-li hodnota růstu větší než 257 procent. Pro tyto hodnoty se systém stává chaotický, to znamená, že velikost populací v následujících letech je nepředvídatelná. Vzdálenost parametrů intervalů, kde jsou periody stabilní (tedy například oněch 245 procent), se nazývá Feigenbaumovo číslo. Toto číslo (přesněji řečeno konstanta) je univerzální, stejně jako například číslo $\pi$ nebo e. Označuje se $\delta$ a má přibližnou hodnotu $\delta \approx 4.669 201 660 910$.