Matematický popis IFS

Při definici IFS se vychází z teorie pevných bodů, která je aplikací věty o Banachově pevném bodu: Nechť U je metrický prostor s metrikou d a f je funkce mapující:

A->U

(3.1)

přičemž $A \in U$. Jestliže má funkce bod x₀ takový, že platí:

f(x₀)=x₀ (3.2)

pak se x₀ nazývá pevný bod. Potom platí následující věta: Jestliže je A podmnožinou množiny U a f je taková funkce, která mapuje množinu A do sebe sama, přičemž existuje určitá konstanta $\delta$ (nazývaná kontrakční faktor), pro kterou platí $0<\delta<1$, potom:

$$d[f(x),f(y)]<\delta.d[x,y]$$ (3.3)

a funkce f se nazývá kontrakce. Poznámka: d v našem případě znamená vzdálenost, ať už jakkoliv definovanou. Z toho vyplývá, že IFS mohou být definovány nad jakýmkoliv prostorem, který má definován pojem vzdálenosti. Například pro Euklidovu metriku platí:

$$d=\sqrt{x_n^2+y_n^2} \ \forall n \in N$$ (3.4)

Po k iteracích potom platí:

$$d[f^{(k)}(x),x_0]<\delta^k.d[x,x_0]$$ (3.5)

Jestliže vezmeme v úvahu tu skutečnost, že kontrakční faktor leží v rozsahu od nuly do jedné, potom limita pro k iterací, pro k blížící se k nekonečnu, je rovna nule, tedy:

$$\lim_{k\rightarrow \infty} d[f^{(k)}(x),x_0]=0$$ (3.6)

Dá se dokázat věta tvrdící, že pevný bod pro danou kontrakci existuje právě jeden. Touto problematikou se zabývá takzvaný teorém pevného bodu.