Soběpodobnost

Dalším pojmem, o kterém se musíme při popisování fraktálů zmínit, je soběpodobnost. Soběpodobnost (matematicky se tato vlastnost nazývá invariance vůči změně měřítka) je taková vlastnost objektu, že objekt vypadá podobně, ať se na něj díváme v jakémkoliv zvětšení. Soběpodobnost je hlavním znakem fraktálních útvarů a většinou je také považována za jejich definici. To nám také pomáhá při vyhledávání fraktálních útvarů v přírodě. Soběpodobný je například kámen, hory, mraky, stromy, rostliny ale i krátery atd., tedy objekty živé i neživé přírody. Matematicky je soběpodobná množina definována takto: Soběpodobná množina A n-dimenzionálního Euklidovského prostoru E_n je taková množina, pro níž existuje konečně mnoho kontrahujících zobrazení $\phi_1...,\phi_n$ takových, že A vznikne jako:

$$A=\bigcup_{i=1}^n\phi_i(A)$$ (1.27)

Takto definovaná množina má několik velmi zajímavých vlastností:

• Soběpodobná množina vzniká opakováním sebe sama při určité transformaci (změna měřítka, rotace, posunutí, zkosení).
• Soběpodobné množiny jsou invariantní vůči změně měřítka. Při libovolném zvětšení, či zmenšení vypadají podobně.
• Soběpodobná množina vzniká sama ze sebe, respektive vzniká opakováním téhož motivu.

Princip opakování podobných tvarů ve zmenšené podobě je vidět prakticky u jakékoliv komplexní, složité struktury, která je vytvářena i pomocí velmi jednoduchých pravidel. Způsob, jakým probíhá větvení stromů či cév a žil v tělech živočichů, nebo hromadění baktérií a řas v koloniích, se dá matematicky uspokojivě popsat pouze fraktální geometrií. Fraktály však slouží i k modelování a pochopení složitých dějů, které se odehrávají v čase, jedná se tedy o jevy dynamické. Při používání pojmu soběpodobnosti si musíme uvědomit, že se jedná o podobnost objektu při změně měřítka. Existuje mnoho geometrických útvarů, které jsou podobné (nebo shodné) při aplikaci jiné transformace. Například čtverec je invariantní vůči středovému zrcadlení, kruh je invariantní vůči stranovému zrcadlení a přímka je invariantní vůči posunu ve směru jejího vektoru. Tato invariance, pokud není doprovázena invariancí vůči změně měřítka, v žádném případě nedefinuje fraktál.