Dynamické systémy

Dynamické systémy jsou pravděpodobně tím typem fraktálů, který má v technické praxi nejšiřší uplatnění. Dynamický systém je matematický model, který je závislý na nějaké proměnné, většinou to bývá na čase. Dynamický systém vychází z počátečních podmínek a je jimi v čase determinován. Existují dynamické systémy, které se po určitém čase neustálí v pevném stavu, ale ani nedivergují. Tento případ, který připomíná iracionální čísla, má většinou fraktální dynamiku a označuje se termínem deterministický chaos.

 

Figure: Dynamický systém - orbit v prostoru

Typickým příkladem dynamického systému s fraktální dynamikou je výpočet populačního růstu, který má tu zajímavou vlastnost, že volbou jediného parametru lze určit, zda systém bude ustálený, oscilující nebo chaotický. Při zkoumání dynamiky populačního růstu byly také objeveny některé konstanty, které mají obecnou platnost, podobně jako například konstanta $\pi$, nebo základ přirozených logaritmů e. Dynamické systémy existují i v komplexní rovině. Tady jsou asi nejvíce známé Juliovy množiny a Mandelbrotova množina.

 

Figure: Dynamický systém - Mandelbrotova množina

 

Figure: Dynamický systém - Juliova množina

Znalost toho, zda nějaký systém je ustálený či zda směřuje k chaosu, je velmi důležitá pro výpočty nad tímto systémem. Pro chaotický systém (nebo fraktálně dynamický systém) nelze předpovědět stav systému v budoucnosti, aniž by se musel simulovat celý vývoj systému. Taktéž platí, že dynamické systémy jsou obecně velmi závislé na počátečních podmínkách, takže i nepatrná změna počátečních podmínek má za následek odlišné chování systému v budoucnosti. Jelikož mají dynamické systémy široké uplatnění v praxi, zabýváme se jimi více v druhé kapitole.