Geometricky hladké útvary

Běžná tělesa a útvary v našem okolí se dají popsat nebo zobrazit jako jistý konečný počet parametrů, které tato tělesa charakterizují. Pro základní geometrické tvary, například pro krychli, kouli, válec, prstenec, úsečku, přímku či rovinu, známe vzorce a vztahy, ze kterých můžeme vypočítat jejich geometrické charakteristiky, například délku, plochu či objem. Jako samozřejmost přitom bereme to, že výsledek je vždy stejný, i když počítáme v libovolných jednotkách. Je například nepodstatné, zda je poloměr koule zadaný v milimetrech či kilometrech; objem koule či její povrch vyjde vždy stejný (samozřejmě při přepočtu na stejné jednotky). Tyto veličiny (objem, povrch atd.) můžeme spočítat i pro poněkud složitější útvary, které vzniknou kombinací konečného počtu elementárních útvarů. Lze třeba spočítat délku Bézierovy křivky nebo objem láhve vzniklé rotací této křivky okolo osy rotace. Výsledky jsou opět nezávislé na použitých jednotkách. Všechny tyto útvary mají jednu společnou vlastnost. Každému útvaru můžeme přiřadit jisté celé číslo, které nazýváme počet rozměrů nebo také dimenze daného útvaru. Takže úsečka, přímka či jiná křivka (například parabola, sinusovka či Bézierova křivka) má dimenzi rovnu 1. To znamená, že je jednorozměrná a tudíž poloha bodu je na ní definována pouze jedním číslem - souřadnicí. Například polohu bodu na sinusovce lze vyjádřit jako:

x=sin(t) (1.1)

kde t je jediný parametr, který jednoznačně definuje polohu bodu na sinusovce. Hodnota x potom přímo udává polohu tohoto bodu. To, že má křivka dimenzi rovnu jedné neznamená, že je zobrazována v jednorozměrném prostoru. Dimenze udává jen počet parametrů, které jsou nutné pro definování bodu na křivce. Následující křivka má dimenzi rovnu jedné, ale je zobrazována v trojrozměrném prostoru:

x = sin(t²)*log(t) (1.2)

$$\sqrt{cos^2(t)}$$ y = (1.3)

$$sin(\sqrt{t})/cos(t)$$ z = (1.4)

Jediným použitým parametrem je zde opět t, polohu bodu potom definují tři souřadnice x,y a z. Také můžeme uvažovat tak, že pro křivky, které mají dimenzi jedna, je definována jejich délka (která může být i nekonečná), ale jejich plocha je nulová (jsou nekonečně tenké). Jakákoliv hladká plocha (kruh, trojúhelník, n-úhelník) má dimenzi rovnu 2, to znamená, že poloha bodu musí být definována pomocí dvou souřadnic. Například sedlová plocha je definována takto:

x = u (1.5)

y = v (1.6)

z = u*v (1.7)

kde u a v jsou parametry, které jednoznačně definují jakýkoliv bod na ploše, zatímco x,y a z jsou výsledné souřadnice bodu v prostoru pro dané u a v. Takto definované plochy mají určitý obsah, ale jejich objem je nulový, protože mají nulovou tloušťku. Krychle, koule, válec nebo celý běžný prostor kolem nás mají dimenzi 3, protože poloha bodu je v nich jednoznačně určena třemi souřadnicemi. Takto lze samozřejmě pokračovat dále, ale s dalšími dimenzemi nemáme zkušenosti - možná ani neexistují. Z matematického hlediska však není velkým problémem definovat například čtyřrozměrnou kouli vzorcem:

x²+y²+z²+w²=r² (1.8)

Přitom x,y,z a w jsou polohy bodu v jednotlivých souřadných osách. Zde je funkce pro čtyřrozměrnou kouli zapsána implicitně, to znamená, že nejsou přímo vyjádřeny jednotlivé souřadnice, ale je pouze zapsána podmínka pro jejich vzájemný vztah. Trošku specifickým případem je bod, který má dimenzi 0, poněvadž polohu bodu v něm samém není třeba určovat žádnou souřadnicí. Ve všech předchozích případech jsme mluvili o dimenzi, která je specifikována celým číslem. Tato dimenze se nazývá dimenze topologická. Pro tyto tělesa, která můžeme označit jako normální nebo běžné, platí, že všechny jejich parametry mohou být zadány v libovolné jednotce, aniž by se změnily vlastnosti tělesa. To znamená, že nezáleží na měřítku, se kterým se na těleso díváme. V klasické fyzice jsou tyto zákonitosti také využívány. Například při výpočtu proudu protékajícího elektrickým obvodem můžeme napětí udávat v kilovoltech, milivoltech nebo v jakékoliv jiné jednotce. To stejné platí při udávání ohmického odporu rezistoru.